Sur la dualité et la descente d’Iwasawa

par David Vauclair

dédié à T. Nguyen Quang Do.

2 octobre 2008

Résumé

Guided by the concrete examples of cyclotomic units and the ideal class group in cyclotomic Iwasawa theory, we develop a general tool for studying descent and codescent, with a special interest in relating the two of them.

Given any “normic system” A = (A_{n}) (that is a collection of Galois modules plus additional data), attached to a fixed p-adic Lie extension with Iwasawa algebra Λ, we mainly show that there is a natural morphism

Rlim_{⟵}A_{n} → RHom_{Λ}(RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}A_{n}, ℤ_{p}), Λ)

which can be given a functorial cone measuring the defect of descent as well as the defect of codescent (for the A_{n}’s). Thanks to a sharpening of the usual Poincaré duality, this results in an enlightening relation between these two.

We show in great detail how known results in the cyclotomic situation fit into this setting, and give a generalization to multiple ℤ_{p}- extensions.

AMS Classification 2000 : 11R34, 13C05, 11R23 Key words : Iwasawa theory, Duality, Control.

Table des matières

1 Introduction 2

2 Préliminaires 7 2.1 Λ-modules, systèmes normiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 (Bi-)foncteurs dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Adjonction et dualité 21 3.1 Un résultat général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Le cas des groupes de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Descente et codescente 25 4.1 Triangles de (co)-descente : j(A) et k(A) . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Triangles d’adjonction : α_{j}(A) et α_{k}(A) . . . . . . . . . . . . . 30

5 Le cas commutatif : Γ ≃ ℤ_{p}^{d} 35 5.1 Δ_{k} et la structure des Λ-modules . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 Stabilisation (cas Γ ≃ ℤ_{p}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.1 Critères de stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2.2 Conséquences de la stabilisation . . . . . . . . . . . . . 45

6 Applications 52

6.1 Cohomologie galoisienne continue . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1.2 Un calcul d’adjoint à la Jannsen . . . . . . . . . . . . . 54

6.2 Le groupe des (p)-classes dans les ℤ_{p}^{d}-extensions . . . . . . . . 55 6.3 Descente et codescente dans la tour cyclotomique . . . . . . . 64

7 Appendice : Construction explicite du complexe dualisant 77

1 Introduction

Soit F un corps de nombres, p un nombre premier, et F_{∞} = ∪F_{n} une extension galoisienne dont le groupe de Galois, noté Γ, est un groupe de Lie p-adique de dimension cohomologique finie. Supposons donnée une collection A = (A_{n}), où A_{n} est un ℤ_{p}[Gal(F_{n}/F)]-module (en pratique d’origine arithmétique, par exemple groupe de classes, unités, groupe de Selmer...), munie à la fois d’une structure de système inductif et de système projectif, ces deux structures vérifiant une condition naturelle de compatibilité normique. A une telle famille de données (appelée système normique dans le texte, cf 2.1), la théorie d’Iwasawa suggère d’associer deux Λ = ℤ_{p}[[Γ]]-modules : A_{∞} := lim_{⟶}A_{n} et X_{∞} := lim_{⟵}A_{n}. Idéalement, on aimerait pouvoir reconstruire la collection des A_{n}, au moins asymptotiquement (ie. pour n suffisament grand) à partir de la seule donnée de X_{∞} et/ou A_{∞}. Dans cette optique, il est naturel d’étudier les applications de descente j_{n} : A_{n} → (A_{∞})^{Γ_{n}} et de codescente k_{n} : (X_{∞})_{Γ_{n}} → A_{n}.

Question 1.1 Que peut-on dire des noyaux et conoyaux de j_{n} (resp. k_{n}) pour n suffisamment grand ? En reste-t-il une trace sur X_{∞} (resp. A_{∞}) ?

Malheureusement, la seule donnée de A_{∞} et X_{∞} ne suffit pas à caractériser un système normique, même asymptotiquement. Aussi on peut se demander de quelles structures supplémentaires sont munis les couples (X_{∞}, A_{∞}) provenant d’un système normique. Dans cette direction :

Question 1.2 Quel lien existe-t-il entre X_{∞} et A_{∞} (ou plutôt son dual) ?

Malgré l’intérêt pratique évident d’une réponse précise et générale à ces deux questions, seuls peu d’efforts semblent leur avoir été consacrés dans cette généralité. On peut citer [Gre94] pour une étude du noyau et conoyau de k_{n} (du point de vue des modules de normes universelles) dans le cas Γ ≃ ℤ_{p}, lorsque A vérifie un certain nombre d’hypothèses restrictives, dont celle que les j_{n} sont des isomorphismes. Dans le même ordre d’idées, citons ausi [KY82]. Concernant la seconde question, le cas où les k_{n} sont des isomorphismes est étudié de manière systématique dans [Jan89].

En revanche, l’étude de ces deux questions pour un système normique donné est une activité fréquente en théorie d’Iwawasa, si bien qu’on dispose de nombreux exemples qui peuvent servir de guide à une théorie générale. Inspiré par les méthodes de [Jan89] et [Nek06], on propose dans cet article un cadre pour une telle théorie, et on établit quelques résultats pratiques qui permettent l’unification, et la généralisation de nombreux résultats connus.

Pour avoir une première idée de ce qu’on peut espérer, on s’inspire essentiellement de deux études parallèles ([LFMNQD05] pour le groupe de classes et [NQDL06] pour les unités cyclotomiques) dans le cas où F_{∞} = ∪F_{n} est la ℤ_{p}-extension cyclotomique d’un corps de nombres F (Γ ≃ ℤ_{p}). On peut reformuler quelques résultats de la manière suivante (cf 6.25 et 6.28 pour des résultats plus exhaustifs) :

Proposition 1.3 ([Iwa73], [LFMNQD05]) Si A_{n} = Cl(O_{F_{n}}[\frac{1}{p}]) ⊗ ℤ_{p}, alors il existe une flèche naturelle

X_{∞} →^{α_{j}} Ext_{Λ}^{1}(Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℚ_{p}/ℤ_{p}), Λ)

dont le noyau et le conoyau sont pseudo-isomorphes. Si ceux-ci sont finis,

alors Ker α_{j} ≃ lim_{⟵}Ker j_{n} et Cokerα_{j} ≃ lim_{⟵}Coker j_{n} ≃ lim_{⟶}Ker k_{n}.

Proposition 1.4 ([NQDL06], [KN95], [Bel02], [BNQD05]) Supposons F réel, abélien sur ℚ et soit A_{n} = C_{n} le ℤ_{p}-module des unités cyclotomiques à la Sinnott de F_{n} (cf. [Sin80]). Alors il existe une flèche naturelle, injective et pseudo-surjective :

X_{∞} →^{α_{j}} Hom_{Λ}(Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p}), Λ)

De plus Coker α_{j} ≃ lim_{⟵}Coker j_{n} ≃ lim_{⟶}Ker k_{n}.

Ainsi reformulés, ces résultats suggèrent que pour A quelconque, on devrait pouvoir construire une flèche

α_{j} : X_{∞} → RHom_{Λ}(X_{∞}^{∗}, ℤ_{p}))

avec X_{∞}^{∗} := RHom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p}), dont “le” cône soit relié à la fois au défaut de descente et de codescente. La première partie de l’article est consacrée à la construction d’une telle flèche.

Expliquons brièvement les idées de la construction. D’abord, il convient de préciser la notion de défaut de (co)descente : si A = (A_{n}) est un système normique et A_{∞} = lim_{⟶}A_{n}, il est possible de construire un objet de R\underline{Γ}(A_{∞}) ∈

D^{b}(\underline{Γ}C), qui relève la collection des RΓ(Γ_{n}, A_{∞}) usuels. Celui-ci est naturellement muni d’une flèche “de descente” A → R\underline{Γ}(A_{∞}), dont on construira un cône fonctoriel : C(j_{A}) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C). C’est cet objet qui encode le défaut de descente. Concrètement la cohomologie de C(j_{A}) est nulle en degrés < −1, puis vaut ensuite (Ker j_{n}), (Coker j_{n}), (H^{1}(Γ_{n}, A_{∞})), (H^{2}(Γ_{n}, A_{∞})) ... De manière “duale”, on définit le défaut de codescente C(k_{A}) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C) (ici il faut prendre certaines précautions, cf texte). On procède alors approximativement comme suit :

- Si A_{n} est de la forme RΓ(Γ_{n}, A_{∞}) (ie. si C(j_{A}) = 0), on construit un isomorphisme α_{j} (théorème 3.2).

- Dans le cas cas général, la définition de C(j_{A}) permet de se ramener au cas précédent pour contruire un triangle distingué fonctoriel

α_{j}(A) = (X_{∞} →^{α_{j}} RHom_{Λ}(X_{∞}^{∗}, Λ) → Δ_{j}(A) → X_{∞}[1])

dans lequel Δ_{j}(A) est relié explicitement à C(j_{A}).

- On procède de manière analogue pour construire un triangle distingué fonctoriel

α_{k}(A) = (X_{∞}^{∗} →^{α_{k}} RHom_{Λ}(X_{∞}, Λ) → Δ_{k}(A) → X_{∞}^{∗}[1])

dans lequel Δ_{k}(A) est relié explicitement à C(k_{A}).

- Sous l’hypothèse de finitude adéquate, on utilise la condition normique de compatibilité entre la structure inductive et projective pour construire un isomorphisme de triangles : α_{j}(A) ≃ RHom_{Λ}(α_{k}(A), Λ), fonctoriel en A.

En pratique, ces trois dernières étapes sont menées de front et aboutissent avec l’énoncé et la preuve du théorème principal (4.6). Dans le texte, tout ce qui précède est énoncé dans le cadre plus général où Γ est profini de dimension cohomologie finie, tel que Λ soit noethérien. Lorsque Γ est un groupe de Lie padique de dimension cohomologique finie, alors la dualité de Poincaré permet d’exprimer de manière plus éclairante le rapport entre descente et codescente (cf 4.8).

Dans ce qui précède, on a négligé les questions de finitude. On y apporte une certaine attention dans le texte, notamment pour établir des critères de finitude utiles en pratique.

A ce point, s’impose la question du contrôle de Δ_{j}(A). Ne sachant comment aborder le cas général, on s’intéresse au cas particulier où A_{n} = M_{Γ_{n}} pour M un Λ-module de type fini et Γ ≃ ℤ_{p}^{d}, d ≥ 1. Dans cette situation, on s’attache notamment à établir un critère maniable pour la pseudo-nullité des modules de cohomologie de Δ_{j}(A), ce qui sera utile dans les applications. Il serait sans doute utile de pousser plus loin l’étude embryonnaire commencée ici.

Dans le cas particulier où Γ ≃ ℤ_{p}, apparaît un phénomène nouveau : lorsque A est un système normique raisonnable, les systèmes inductifs (resp. projectif) sous-jacents à la cohomologie de C(k_{A}) (resp. C(j_{A})) ont tendance à se stabiliser. Lorsque cela se produit (notamment pour les systèmes normiques usuels provenant de l’arithmétique) il est intéressant de noter que l’on peut reconstruire le système normique (A_{n}) asymptotiquement à partir de la seule donnée de la flèche α_{j} : X_{∞} → RHom_{Λ}(RHom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p}), Λ). En pratique, le phénomène de stabilisation - lorsqu’il se produit - permet surtout de dresser un tableau général des relations entre descente, codescente et strcture de X_{∞} et A_{∞}. A cet égard, la proposition 5.23 devrait être considérée comme un formulaire.

Pour illustrer nos méthodes, on donne deux applications :

1. à l’étude du groupe des (p)-classes - noté Cl′ dans une ℤ_{p}^{d}-extension. Outre une preuve unifiée de nombreux résultats connus, on obtient notamment (cf 6.7) :

- l’existence d’un morphisme lim_{⟵}Cl′_{n} → Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Cl′_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) dont le noyau et le conoyau sont pseudo-isomorphes. Ce résultat fait suite aux tentatives précédentes de [McC01], [LNQD00], [NQDV05] (cf. 6.17), et complète [Nek06] 9.4.1. Sa preuve dépend de l’étude de Δ_{j}(A) mentionnée plus haut ainsi que d’un résultat de [Nek06].

- une nouvelle description du sous-module pseudo-nul maximal de lim_{⟵}Cl′_{n}, sous (Dec_{2}) (cf texte). L’intérêt de ce résultat tient à sa relation à la conjecture de Greenberg généralisée (cf [Vau05] ou [NQDV05]).

2. à la théorie d’Iwasawa cyclotomique d’un corps de nombres abélien. Dans ce cadre on retrouve 1.3 et 1.4 comme cas particuliers de la situation générale 5.23. Cette approche permet notamment de répondre à une question de [NQDL06]. Cette partie est rédigée de manière à ce que la lecture des énoncés soit indépendante du reste du texte.

L’un des objectifs recherchés dans ces deux applications est une meilleure compréhension de la nature (arithmétique ou algébrique) des résultats connus, ainsi que les hypothèses minimales nécessaires à leur validité. Pour cette raison, mais aussi pour faire apparaître plus clairement la ligne conductrice de notre étude, on s’abstiendra d’invoquer les résultats préexistants dont la preuve relève des méthodes de ce travail.

En appendice, on donne une construction directe du complexe dualisant, laquelle permet notamment son utilisation dans le contexte des systèmes normiques.

Cet article puise visiblement sa motivation et son inspiration dans les méthodes développées par T. Nguyen Quand Do. Ce travail lui est dédié. Le paragraphe 6.2, reprend et améliore les résultats d’une version antérieure, grâce aux suggestions de J. Nekovář. En particulier, le théorème 6.7 et ses corollaires lui sont partiellement dûs, et je le remercie de m’avoir permis de reproduire ici ses arguments. Je remercie aussi B. Angles, J-R. Belliard et R. Sharifi pour leurs encouragements à rédiger ce travail, ainsi que F. Nuccio pour quelques discussions intéressantes. Enfin, je remercie le rapporteur anonyme pour les nombreuses corrections qu’il m’a suggérées.

2 Préliminaires

La présente étude requiert un cadre dans lequel on puisse à la fois utiliser le formalisme des catégories dérivées, et effectuer facilement les passages à la limite habituels de la théorie d’Iwasawa. A cet effet, on introduit la catégorie des “systèmes normiques” le long de la tour d’Iwasawa. On fixe d’abord quelques notations, puis on explique rapidement comment fonctionnent l’algèbre homologique et les passages à la limite dans cette catégorie.

2.1 Λ-modules, systèmes normiques

Fixons un groupe profini Γ, et indexons la famille des sous-groupes ouverts distingués de Γ par un ensemble N. Pour n ∈ N, on note Γ_{n} le sous-groupe de Γ correspondant, et G_{n} := Γ/Γ_{n}. L’anti-inclusion des sous-groupes confère à N une structure d’ensemble ordonné filtrant (n ≤ m ⇔ Γ_{n} ⊃ Γ_{m}), suivant laquelle Γ = lim_{⟵}G_{n}.

On fixe une fois pour toutes un nombre premier p, et Λ := lim_{⟵}ℤ_{p}[G_{n}] désigne l’algèbre d’Iwasawa de Γ. Notons _{Λ}C (resp. _{ℤ_{p}}C) la catégorie des Λ-modules à gauche (resp. ℤ_{p}-modules). On considère aussi _{Γ}C (resp. _{G_{n}}C) la sous-catégorie pleine de _{Λ}C, formée par les modules sur lesquels Γ agit discrètement (resp. Γ_{n} agit trivialement), ie. M ∈ _{Γ}C ⇔ M = ∪M^{Γ_{n}}. On adopte des notations analogues pour les catégories de modules à droite correspondantes. Si ∗_{1} et ∗_{2} sont deux listes de symboles choisis parmi Λ, ℤ_{p}, Γ, G_{n}, on note _{∗_{1}}C_{∗_{2}} la catégorie de multi-modules correspondante (les différentes structures doivent être compatibles entre elles). Ainsi,_{Γ}C_{Λ} désigne par exemple la catégorie des Λ-bimodules sur lesquels l’action de Γ à gauche est discrète.

Définition 2.1 Soit _{∗_{1}}C_{∗_{2}} une catégorie de multi-modules comme ci-dessus. La catégorie des “systèmes normiques”, notée _{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}} est définie comme suit :

- un objet A de _{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}} consiste en la donnée, pour tout couple n ≤ m, de flèches de _{Γ,∗_{1}}C_{∗_{2}} : j_{n,m} : A_{n} → A_{m} et k_{m,n} : A_{m} → A_{n} vérifiant : (Norm1) : A_{n} ∈ _{G_{n},∗_{1}}C_{∗_{2}}. (Norm2) : Si n_{1} ≤ n_{2} ≤ n_{3}, j_{n_{2},n_{3}} ∘ j_{n_{1},n_{2}} = j_{n_{1},n_{3}} et k_{n_{2},n_{1}} ∘ k_{n_{3},n_{2}} = k_{n_{3},n_{1}}. (Norm3) : Pour n ≤ m, j_{n,m}∘k_{m,n} : A_{m} → A_{m} est la multiplication à gauche par l’élément ∑_{g∈Γ_{n}/Γ_{m}} g ∈ ℤ_{p}[G_{m}]. (Norm4) : Pour n ≤ m, k_{m,n} ∘ j_{n,m} : A_{n} → A_{n} est la multiplication par (Γ_{n} : Γ_{m}).

- une flèche A → B est la donnée pour chaque n d’une flèche de _{∗_{1}}C_{∗_{2}} : A_{n} → B_{n}, qui commute avec les j_{n,m} et les k_{m,n}. On définit une catégorie _{∗_{1}}C_{∗_{2},\underline{Γ}} de façon analogue.

L’exemple fondamental, noté \underline{Λ}, est défini comme suit : j_{n,m} : ℤ_{p}[G_{n}] → ℤ_{p}[G_{m}], x ↦ ∑_{g∈Γ_{n}/Γ_{m}} gx = x ∑_{g∈Γ_{n}/Γ_{m}} g (Γ_{n}/Γ_{m} est distingué dans G_{m}) et k_{m,n} : ℤ_{p}[G_{m}] → ℤ_{p}[G_{n}] la projection naturelle. \underline{Λ} est au choix un objet de \underline{Γ}C_{Λ}, _{Λ}C\underline{Γ} (ou encore, par oubli de structure, de \underline{Γ}C ou C\underline{Γ}).

Lorsque les flèches de transition d’un objet A ∈ \underline{Γ}C sont évidentes, on désignera simplement l’objet A ∈ \underline{Γ}C par la collection (A_{n}) (eg. \underline{Λ} = (ℤ_{p}[G_{n}])). On remarque que _{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}} est une catégorie abélienne, munie pour chaque n d’un foncteur de projection exact : π_{n} : _{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}} →_{G_{n},∗_{1}} C_{∗_{2}}, A ↦ A_{n}.

Définition 2.2 (i) Si (A, B) ∈ _{Λ,∗_{1}}C_{∗_{2}} × _{Λ,∗_{3}}C_{∗_{4}} ou _{∗_{1}}C_{∗_{2},Λ} ×_{∗_{3}} C_{∗_{4},Λ}, on note \underline{Hom}(A, B) le système normique formé de la collection des G_{n}-modules Hom_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}(A, B) (action par conjugaison), munie des applications de transition évidentes. C’est un objet de _{\underline{Γ},∗_{2},∗_{3}}C_{∗_{1},∗_{4}} ou _{∗_{2},∗_{3}}C_{∗_{1},∗_{4},\underline{Γ}}, suivant qu’on considère l’action de G_{n} par conjugaison à gauche ou à droite.

(i) Si (A, B) ∈ _{∗_{1}}C_{∗_{2},Λ} ×_{Λ,∗_{3}}C_{∗_{4}}, on note A\underline{⊗}B le système normique formé de la collection des G_{n}-modules A⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} B (action par conjugaison), munie de ses applications de transition naturelles. C’est un objet de _{\underline{Γ},∗_{1},∗_{3}}C_{∗_{2},∗_{4}} ou ∗_{1},∗_{3}C_{∗_{2},∗_{4},\underline{Γ}}, suivant qu’on considère l’action de G_{n} par conjugaison à gauche ou à droite.

Si A ∈ _{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}}, on note simplement lim_{⟶}A ∈ _{Γ,∗_{1}}C_{∗_{2}} (resp. lim_{⟵}A ∈ _{Λ,∗_{1}}C_{∗_{2}}) la limite inductive (resp. projective) prise suivant les j_{n,m} (resp. k_{n,m}). De même pour les modules à droite.

L’axiome (Norm1) donne lieu pour chaque n ∈ N à une flèche de descente A_{n} → (lim_{⟶}A)^{Γ_{n}}, ainsi qu’à une flèche de codescente (lim_{⟵}A)_{Γ_{n}} → A_{n}. L’axiome (Norm3) assure que ces deux collections de flèches commutent aux applications de transition j_{n,m} et k_{m,n}. On a donc, dans_{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}} une flèche de descente A → \underline{Hom}(ℤ_{p}, lim_{⟶}A), ainsi qu’une flèche de codescente ℤ_{p}\underline{⊗}lim_{⟵}A → A. Pour des raisons d’algèbre homologique évidentes, on préfèrera noter \underline{Γ}(lim_{⟶}A) au lieu de \underline{Hom}(ℤ_{p}, lim_{⟶}A) (voir prochain paragraphe). On notera que le noyau et le conoyau de l’application de descente A → \underline{Γ}(lim_{⟶}A) sont de ℤ_{p}-torsion (au sens où chaque composante est de ℤ_{p}-torsion), grâce à l’axiome (Norm4). C’est la seule utilité de cette axiome, dont la totalité du présent texte est en fait indépendante.

D’après la discussion précédente, le foncteur ℤ_{p}\underline{⊗}− : _{Λ,∗_{1}}C_{∗_{2}} → _{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}} (resp. \underline{Γ} : _{Γ,∗_{1}}C_{∗_{2}} → _{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}}) est adjoint à gauche au foncteur lim_{⟵} : _{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}} → Λ,∗_{1}C_{∗_{2}} (resp. adjoint à droite au foncteur lim_{⟶} : _{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}} → _{Γ,∗_{1}}C_{∗_{2}}). En particulier, \underline{Γ}(−) conserve les injectifs (car lim_{⟶} est exact à gauche). Pour ℤ_{p}\underline{⊗}− et les projectifs, voir 2.11.

Un foncteur additif F : _{Γ,∗_{1}}C_{∗_{2}} → _{Γ,∗_{3}}C_{∗_{4}} est dit Γ-linéaire s’il vérifie F (_{g}m) = _{g}m pour tout g ∈ Γ, _{g}m désignant la multiplication à gauche par g. Un tel foncteur possède alors une extension évidente, F : _{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}} → \underline{Γ},∗_{3}C_{∗_{4}} définie par F (j_{n,m}) = j_{n,m} et F (k_{m,n}) = k_{m,n}. De même, un foncteur additif contravariant Γ-linéaire F : _{Γ,∗_{1}}C_{∗_{2}} → _{∗_{3}}C_{∗_{4},Γ} possède une extension F : _{\underline{Γ},∗_{1}}C_{∗_{2}} → _{∗_{3}}C_{∗_{4},\underline{Γ}}, définie par F (j_{n,m}) = k_{m,n} et F (k_{m,n}) = j_{n,m}. Il y a bien sûr une discussion similaire pour les foncteurs covariants _{∗_{1}}C_{∗_{2},Γ} → _{∗_{3}}C_{∗_{4},Γ} et les foncteurs contravariants _{∗_{1}}C_{∗_{2},Γ} → _{Γ,∗_{3}}C_{∗_{4}}.

De cette manière, on obtient par exemple un foncteur Hom_{ℤ_{p}}(−, ℤ_{p}) : \underline{Γ}C_{Λ} → _{Λ}C\underline{Γ}. On relève l’isomorphisme important (cas particulier de 2.3) :

Hom_{ℤ_{p}}(\underline{Λ}, ℤ_{p}) ≃ \underline{Λ}

où le premier \underline{Λ} est un objet de \underline{Γ}C_{Λ} et le second un objet de _{Λ}C\underline{Γ}.

Induction normique.

On définit quatre foncteurs (induction et co-induction) :

\underline{Ind}, \underline{Coind} : _{Λ}C → _{Λ}C\underline{Γ} \underline{Ind}, \underline{Coind} : C_{Λ} → \underline{Γ}C_{Λ}

de la manière suivante (cf def. 2.2)

- \underline{Ind}A := Λ\underline{⊗}A (resp. A\underline{⊗}Λ), muni de la conjugaison à droite (resp. gauche) si A ∈ _{Λ}C (resp. A ∈ C_{Λ}). C’est un Λ-module à gauche (resp. à droite) via le facteur Λ.

- \underline{Coind}A := \underline{Hom}(Λ, A), muni de la conjugaison à droite (resp. gauche) si A ∈ _{Λ}C (resp. A ∈ C_{Λ}). C’est un Λ-module à gauche (resp. droite) via la structure à droite (resp. gauche) de Λ.

Ont alors lieu les isomorphismes bifonctoriels suivants :

- Si (A, B) ∈ _{Λ}C ×_{Λ}C, dans \underline{Γ}C (resp. C\underline{Γ}) :

\underline{Hom}(A, B) ≃ Hom_{Λ}(\underline{Ind}A, B) (resp. \underline{Hom}(A, B) ≃ Hom_{Λ}(A, \underline{Coind}B))

- Si (A, B) ∈ C_{Λ} × C_{Λ}, le même isomorphisme a lieu, mais cette fois dans C\underline{Γ} (resp. \underline{Γ}C).

- Si (A, B) ∈ C_{Λ} ×_{Λ}C, on a dans \underline{Γ}C (resp. C\underline{Γ}) :

\underline{Ind}(A) ⊗_{Λ} B ≃ A\underline{⊗}B (resp. A ⊗_{Λ} \underline{Ind}B ≃ A\underline{⊗}B)

Regarder ℤ_{p} comme un Λ-module à gauche provoque dans _{Λ}C\underline{Γ} les isomorphismes suivants

\underline{Ind}(ℤ_{p}) ≃ \underline{Λ} ≃ Hom_{ℤ_{p}}(\underline{Λ}, ℤ_{p}) ≃ \underline{Coind}(ℤ_{p})

Plus généralement :

Proposition 2.3 Les foncteurs \underline{Ind}, \underline{Coind} : _{Λ}C → _{Λ}C\underline{Γ} sont naturellement isomorphes. De même pour les foncteurs C_{Λ} → \underline{Γ}C_{Λ}.

Preuve : On laisse au lecteur le soin de vérifier que la collection d’applications naturelles ϕ_{n} : Hom_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}(Λ, A) → Λ ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} B, f ↦ ∑_{g∈Γ_{n}\Γ} g^{−1} ⊗ f(g) respecte la structure de système normique à droite, ainsi que la structure de Λ-module à gauche, et que c’est un isomorphisme.

□

Induction discrète. (inutile, sauf pour 7.3)

On voit facilement que \underline{Ind} : _{Λ}C → _{Λ}C\underline{Γ} transforme objets de _{Γ}C en objets de _{Γ}C\underline{Γ}. De même pour les trois variantes. A partir de là, on peut définir des foncteurs d’induction discrète à partir des précédents, par limite inductive :

Ind_{Γ}, Coind_{Γ} : _{Γ}C → _{Γ}C_{Γ} Ind_{Γ}, Coind_{Γ} : C_{Γ} → _{Γ}C_{Γ}

Ind_{Γ}(A) := lim_{⟶}\underline{Ind}(A) et Coind_{Γ}(A) := lim_{⟶}\underline{Coind}(A).

Un processus de double limite permet d’écrire des isomorphismes bifonctoriels à partir des précédents (se ramener au cas où A est finiment engendré). Par exemple :

- Si (A, B) ∈ _{Γ}C ×_{Γ}C, on a dans _{Λ}C (resp. C_{Λ}) :

Hom_{ℤ_{p}}(A, B) ≃ Hom_{Λ}(Ind_{Γ}(A), B) (resp. Hom_{ℤ_{p}}(A, B) ≃ Hom_{Λ}(A, Coind_{Γ}(A)))

La structure de Λ-module de Hom_{ℤ_{p}}(A, B) étant ici induite par l’action de Γ par conjugaison. On prendra garde au fait que celle-ci n’est pas discrète en général. Cette structure de Λ-module peu naturelle (et contraire aux conventions générales de cet article, expliquées plus haut), ne sera utilisée en pratique que dans la situation où l’action de Γ sur B est triviale (voir notamment 7.2).

2.2 (Bi-)foncteurs dérivés

Soit F un bifoncteur additif exact à gauche. Si l’une des deux catégories de départ possède suffisamment d’objets F -acycliques (ou déployants), on peut définir le foncteur dérivé droit RF. Nous appliquons ce principe pour dériver certains des foncteurs définis au paragraphe précédent. On indique ensuite comment s’écrivent quelques unes des compatibilités habituelles entre Hom et ⊗ dans ce cadre. Pour une catégorie abélienne C, Kom^{a}(C), a ≥ 1 (resp. Kom_{naifs}^{a}(C), Kom^{∗}(C), K^{∗}(C), D^{∗}(C), ∗ = +, −, b) désigne la catégorie des complexes a-uples (resp. celle des complexes a-uples naifs, celle des complexes simples, des complexes simples à homotopie près, la catégorie dérivée). Un objet de Kom(C) = Kom^{1}(C) sera le plus souvent symbolisé par A, et par A^{•} seulement lorsque la clarté l’exige.

Comme notre étude est restreinte au cas où Γ est de dimension cohomologique finie et qu’en pratique ou travaillera toujours dans D^{b}, on ne cherche pas à étendre au maximum le domaine de définition des foncteurs dérivés.

Proposition 2.4 1. Soient ∗_{1}, ∗_{2}, ∗_{3}, ∗_{4} quatre listes de symboles choisis parmi ℤ_{p} et Λ. Si ∗_{1} = ∗_{2} = ∅ ou ∗_{3} = ∗_{4} = ∅, alors :

(i) Le bifoncteur \underline{Hom} : _{Λ,∗_{1}}C_{∗_{2}} × _{Λ,∗_{3}}C_{∗_{4}} → _{\underline{Γ},∗_{2},∗_{3}}C_{∗_{1},∗_{4}} est dérivable à droite, ainsi que ses trois variantes obtenues en changeant Λ et/ou \underline{Γ} de côté. On note R\underline{Hom} : D^{−} × D^{+} → D^{+} le foncteur ainsi obtenu.

(ii) Le bifoncteur \underline{⊗} : _{∗_{1}}C_{∗_{2},Λ} ×_{Λ,∗_{3}}C_{∗_{4}} → _{\underline{Γ},∗_{1},∗_{2}}C_{∗_{3},∗_{4}} (ou _{∗_{1},∗_{2}}C_{∗_{3},∗_{4},\underline{Γ}}) est

dérivable à gauche. On note \underline{⊗^{L}} : D^{−} × D^{−} → D^{−}.

2. Soit ∗ = Λ ou ℤ_{p}, et ∗_{1}, ∗_{2}, ∗_{3}, ∗_{4} quatre listes de symboles choisis parmi ℤ_{p}, Λ, \underline{Γ} de façon à ce que \underline{Γ} apparaisse au plus dans une seule liste. Si ∗_{1} = ∗_{2} = ∅ ou ∗_{3} = ∗_{4} = ∅, alors :

(i) Le bifoncteur Hom_{∗} : _{∗,∗_{1}}C_{∗_{2}} × _{∗,∗_{3}}C_{∗_{4}} → _{∗_{2},∗_{3}}C_{∗_{1},∗_{4}} est dérivable à droite. On note RHom_{∗} : D^{−} × D^{+} → D^{+}. Idem si l’on change ∗ de coté.

(ii) Le bifoncteur ⊗_{∗} : _{∗_{1}}C_{∗_{2},∗} ×_{∗,∗_{3}}C_{∗_{4}} → _{∗_{1},∗_{3}}C_{∗_{2},∗_{4}} est dérivable à gauche.

On note ⊗^{L}_{∗} : D^{−} × D^{−} → D^{−}.

Preuve : 1. (i) Supposons ∗_{3} = ∗_{4} = ∅. La catégorie _{Λ,∗_{3}}C_{∗_{4}} = _{Λ}C possède alors suffisamment d’injectifs. Comme la catégorie des injectifs de _{Λ}C vérifie les deux conditions de [KS05] 13.4.5, cela permet de conclure. Bien sûr, la flèche naturelle de D^{+}(_{\underline{Γ},∗_{2}}C_{∗_{1}}) : \underline{Hom}(A, I) → R\underline{Hom}(A, I) est un isomorphisme dès que I est injectif. Un objet I ∈ Kom(_{Λ}C) possédant cette propriété pour tout A ∈ Kom(_{Λ,∗_{1}}C_{∗_{2}}) sera dit déployant (et les couples (A, I) déployés) pour le foncteur R\underline{Hom}. On emploie une terminologie analogue pour tous les bifoncteurs dérivés.

Les autres points se traitent de façon analogue.

□

Remarque 2.5 Les foncteurs de projection π_{n} : _{\underline{Γ},∗_{2},∗_{3}}C_{∗_{1},∗_{4}} →_{G_{n},∗_{2},∗_{3}} C_{∗_{1},∗_{4}} étant exacts, ils passent aux catégories dérivées. En composant π_{n} avec R\underline{Hom} défini ci-dessus, on retrouve les bifoncteurs usuels RHom_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}. De même

π_{n} ∘ \underline{⊗^{L}} = ⊗^{L}_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}. Il est utile de noter que la famille (π_{n}) est conservative.

Les compatibilités habituelles entre Hom et ⊗ s’étendent naturellement à ce cadre (adjonction, évaluation). Détaillons quelques cas utiles.

Proposition 2.6 Soit ∗ = Λ ou ℤ_{p}.

1. Pour (A, B, C) ∈ D^{−}(C_{Λ}) × D^{−}(_{Λ}C_{∗}) × D^{+}(C_{∗}), il y a dans D^{+}(\underline{Γ}C) et D^{+}(C\underline{Γ}) un isomorphisme d’adjonction tri-fonctoriel :

adj : RHom_{∗}(A\underline{⊗^{L}}B, C) ≃ R\underline{Hom}(A, RHom_{∗}(B, C))

2. (i) Pour (A, B, C) ∈ D^{b}(C_{Λ}) × D^{b}(_{∗}C_{Λ}) × D^{b}(_{∗}C), il y a dans D^{b}(\underline{Γ}C) et D^{b}(C\underline{Γ}) un morphisme d’évaluation trifonctoriel :

ev : A\underline{⊗^{L}}RHom_{∗}(B, C) → RHom_{∗}(R\underline{Hom}(A, B), C)

(ii) Pour (A, B, C) ∈ D^{b}(_{Λ}C) × D^{b}(_{Λ}C_{∗}) × D^{b}(C_{∗}), il y a dans D^{b}(\underline{Γ}C) et D^{b}(C\underline{Γ}) un morphisme d’évaluation trifonctoriel :

ev : RHom_{∗}(B, C)\underline{⊗^{L}}A → RHom_{∗}(R\underline{Hom}(A, B), C)

(iii) Les morphismes (i) et (ii) ci-dessus sont des isomorphismes lorsque A est isomorphe (dans D^{b}) à un complexe parfait.

Preuve : 1. (i) Pour chaque n ∈ N, il y a un isomorphisme naturel entre les trifoncteurs C_{Λ} × _{Λ}C_{∗} × C_{∗} →_{G_{n}} C (A, B, C) ↦ Hom_{∗}(A ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} B, C) et (A, B, C) ↦ Hom_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}(A, Hom_{∗}(B, C)). Il est facile de voir que cet isomorphisme est compatible à la structure de système normique, au sens où il identifie Hom_{∗}(k_{m,n}, C) avec j_{n,m} et Hom_{∗}(j_{n,m}, C) avec k_{m,n}. On obtient ainsi un isomorphisme entre les trifoncteurs C_{Λ} ×_{Λ}C_{∗} ×C_{∗} → \underline{Γ}C, (A, B, C) ↦ Hom_{∗}(A\underline{⊗}B, C) et (A, B, C) ↦ \underline{Hom}(A, Hom_{∗}(B, C)), d’où immédiatement un isomorphisme de trifoncteurs K^{−}(C_{Λ}) × K^{−}(_{Λ}C_{∗}) × K^{+}(C_{∗}) → K^{+}(\underline{Γ}C) par extension des trifoncteurs aux complexes. Mais alors, l’extension au complexes du trifoncteur (A, B, C) ↦ Hom_{∗}(A\underline{⊗}B, C) est isomorphe (avec les conventions de signes adéquates, cf [Del], 1.1.8) :

- d’une part au trifoncteur obtenu en composant l’extension aux complexes du bifoncteur (D, C) ↦ Hom_{∗}(D, C) avec l’extension aux complexes du bifoncteur (A, B) ↦ A\underline{⊗}B,

- d’autre part au trifoncteur obtenu en composant l’extension aux complexes du bifoncteur (A, D) ↦ \underline{Hom}(A, D) avec l’extension aux complexes du bifoncteur (B, C) ↦ Hom_{∗}(B, C).

Aussi les deux derniers trifoncteurs sont-ils isomorphes. Il suffit de choisir A à objets projectifs et C à objets injectifs pour obtenir l’isomorphisme de l’énoncé.

2. (i) Se traite de façon analogue, à partir du morphisme fonctoriel d’évaluation entre les trifoncteurs _{Λ}C ×_{Λ}C_{∗} × C_{∗} → \underline{Γ}C. Idem pour (ii).

(iii) est une conséquence directe du fait suivant : si A ∈ C_{Λ} (resp. _{Λ}C) est projectif de type fini, alors la flèche d’évaluation

A ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} Hom_{∗}(B, C) → Hom_{∗}(Hom_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}(A, B), C)
(resp. Hom_{∗}(B, C) ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} A → Hom_{∗}(Hom_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}(A, B), C) )

est un isomorphisme pour tout (B, C) ∈ _{∗}C_{Λ} ×_{∗}C (resp. _{Λ}C_{∗} × C_{∗}).

□

Soit C′ une sous-catégorie d’une catégorie C. Si F : D^{+}(C) → D^{+}(C′′) est un foncteur, on notera encore F : D^{+}(C′) → D^{+}(C′′) le foncteur obtenu en composant F avec le foncteur évident D^{+}(C′) → D^{+}(C), et on parlera de la “restriction de F à D^{+}(C′)”. Il s’agit d’un abus de langage puisqu’en général le foncteur évident n’est pas fidèle.

Proposition 2.7 Notons \underline{Γ} : _{Γ}C → \underline{Γ}C (resp. C_{Γ} → C\underline{Γ}) la restriction à ΓC ⊂ _{Λ}C (resp. C_{Γ} ⊂ C_{Λ}) du foncteur \underline{Hom}(ℤ_{p}, −). Alors :

(i) Le foncteur \underline{Γ} est dérivable à droite, et donne donc R\underline{Γ} : D^{+}(_{Γ}C) → D^{+}(\underline{Γ}C). On a de même R\underline{Γ} : D^{+}(C_{Γ}) → D^{+}(C\underline{Γ}).

(ii) Il y a une flèche naturelle de R\underline{Γ} vers la restriction à D^{+}(_{Γ}C) du foncteur R\underline{Hom}(ℤ_{p}, −) : D^{+}(_{Λ}C) → D^{+}(\underline{Γ}C). Idem en remplaçant _{Γ}C par C_{Γ}.

(iii) Si Λ est noethérien et si les objets de cohomologie de A ∈ D^{+}(_{Γ}C) (resp. D^{+}(C_{Γ})) sont tous des ℤ_{p}-modules de torsion, alors la flèche précédente induit un isomorphisme R\underline{Γ}(A) = R\underline{Hom}(ℤ_{p}, A).

Preuve : (i) _{Γ}C et C_{Γ} possèdent suffisamment d’injectifs.

(ii) résulte de la propriété universelle du foncteur dérivé droit R\underline{Γ}.

(iii) Par troncature, on se ramène tout de suite au cas où A est concentré en degré 0. Dans ce cas, A possède une résolution A → I dans laquelle les objets de I sont de ℤ_{p}-torsion, injectifs dans _{Γ}C. Le résultat suit, d’après le lemme 7.1 (appendice).

□

Définition 2.8 Soit ∗ = Λ ou ℤ_{p}, et ∗_{1}, ∗_{2} deux listes de symboles choisis parmi ℤ_{p}, Λ, \underline{Γ}, dont l’une au moins contient ∗.

On définit Bid_{∗} : D^{b}(_{∗_{1}}C_{∗_{2}}) → D^{b}(_{∗_{1}}C_{∗_{2}}) par

Bid_{∗}(A) := RHom_{∗}(RHom_{∗}(A, ∗), ∗)

et l’on note bid_{∗} : A → Bid_{∗}(A) le morphisme naturel de bidualité.

Si ∗ est noethérien de dimension homologique finie, bid_{∗} est un isomorphisme dès A est d’amplitude bornée, à objets de cohomologie de type fini sur ∗ (dualité de Grothendieck). Pour ∗ = ℤ_{p}, on décrira un peu plus loin l’effet de Bid_{ℤ_{p}} sur une classe plus large d’objets ; le cas significatif est celui où A un module divisible de cotype fini : Bid_{ℤ_{p}}(A) est alors le module de Tate de A placé en degré −1 (cf 2.12).

2.3 Limites

Soient C_{1}, C_{2} (resp. C′) deux catégories abéliennes dans lesquelles les produits infinis existent et sont exacts (resp. une cat. ab. avec sommes infinies exactes). On pourra par exemple prendre C_{1} = _{∗}C avec ∗ = ℤ_{p}, Λ ou \underline{Γ} (resp. C′ = _{∗}C avec ∗ = ℤ_{p}, Λ, Γ ou \underline{Γ}). Soit I un ensemble ordonné filtrant et considérons C_{1}^{I^{∘}} la catégorie des systèmes projectifs de C_{1} indexés sur I, et C′^{I} celle des systèmes inductifs de C′ indexés sur I. On dispose alors de foncteurs lim_{⟶} : C′^{I} → C′ et lim_{⟵} : C_{1}^{I^{∘}} → C_{1}. Le premier est exact et passe donc aux catégories dérivées ; le second est seulement exact à gauche, et son usage nécessite les résultats suivants :

Proposition 2.9 Soient I, C_{1}, C_{2}, C′ comme ci-dessus. Alors :

1. lim_{⟵}_{I} possède un dérivé droit Rlim_{⟵}_{I} : D^{+}(C_{1}^{I^{∘}}) → D^{+}(C_{1}).

2. Supposons C_{1} munie d’un foncteur Φ vers la catégorie Ab des groupes abéliens. Si Φ est exact et commute aux limites projectives filtrantes, alors Rlim_{⟵}_{I} commute aussi à Φ. Si de plus Φ est fidèle, alors

(i) Rlim_{⟵}_{I} est de dimension cohomologique ≤ 1 dès que I possède un ensemble cofinal dénombrable.

(ii) R^{q}lim_{⟵}_{I}A s’annule pour q ≥ 1, dès que Φ(A) ∈ Ab^{I^{∘}} est dans l’image

essentielle du foncteur d’oubli Comp^{I^{∘}} → Ab^{I^{∘}}, Comp désignant la catégorie des groupes topologiques compacts.

3. Soit F : C_{1} × C′ → C_{2} un bifoncteur covariant exact à gauche dérivable à droite (resp. covariant exact à droite et dérivable à gauche de dimension homologique finie) et notons ∗ = + (resp. ∗ = b). On suppose que :

- C′ possède suffisamment d’objets déployants (cf preuve de 2.4) pour RF (resp. LF).

- via la première variable, F commute aux produits infinis. Alors RF s’étend naturellement en un bifoncteur D^{∗}(C_{1}^{I^{∘}})×D^{∗}(C′) → D^{∗}(C_{2}^{I^{∘}}) et l’on a pour (A, B) ∈ D^{∗}(C_{1}^{I^{∘}}) × D^{∗}(C) un isomorphisme bifonctoriel

RF (Rlim_{⟵}_{I}A, B) ≃ Rlim_{⟵}_{I}RF (A, B) (resp. LF (Rlim_{⟵}_{I}A, B) ≃ Rlim_{⟵}_{I}LF (A, B))

4. Soit G : C′ → C_{1} un foncteur contravariant exact. On suppose que G transforme sommes infinies en produits infinis. Il y a alors un isomorphisme G(lim_{⟶}_{I}A) ≃ Rlim_{⟵}_{I}G(A), fonctoriel en A ∈ D^{−}(C′^{I}).

Preuve : 1. résulte de l’existence dans C_{1}^{I^{∘}} de suffisamment de systèmes projectifs flasques au sens de [Roo61]. Comme nous en aurons l’utilité, indiquons brièvement de quoi il s’agit. On dit qu’un système projectif A = (A_{i}) ∈ C_{1}^{I^{∘}} est flasque si pour pour tout I′′ ⊂ I′ ⊂ I, lim_{⟵}_{I′}A ↠ lim_{⟵}_{I′′}A. Pour A ∈ C_{1}^{I^{∘}},

on définit un “effacement flasque” A → F l(A), où F l(A)_{i} = ∏_{j≤i} A_{i} est le système projectif évident et où les flèches A_{i} → F l(A)_{i} sont induites par celles de A. Il est utile de noter que l’on dispose ici d’un foncteur résolvant “à la Godement” : si F l^{•} : Kom_{naifs}^{a}(C_{1}^{I^{∘}}) → Kom_{naifs}^{a+1}(C_{1}^{I^{∘}}) est induit par F l, on note F l^{∗} : Kom(C_{1}^{I^{∘}}) → Kom(C_{1}^{I^{∘}}), A^{•} ↦ T ot_{Π}F l^{•}(A^{•}), où T ot_{Π} est le foncteur “complexe total” avec des produits (et non des sommes). On a donc Rlim_{⟵}A^{•} = lim_{⟵}F l^{∗}(A^{•}).

2. La construction ci-dessus montre que Rlim_{⟵}_{I} commute bien à Φ.

(i) On peut toujours supposer C_{1} = Ab, et invoquer [Roo61], corollaire à la proposition 5. D’après [Mil04], il faut prendre garde à la proposition 5 elle-même (reportée aussi dans [Jan88]), qui est fausse en toute généralité. Lorsque C_{1} = Ab, la version usuelle du critère de Mittag-Leffler remplace [Roo61] prop. 5 et permet cependant de conclure.

(ii) Il est bien connu que lim_{⟵}_{I} : Comp^{I^{∘}} → Comp est exact. Le résultat

s’en déduit aisément. On renvoie à [Jen72] pour une étude plus complète des foncteurs R^{q}lim_{⟵}_{I}.

3. Traitons le cas où F est exact à gauche dérivable à droite. Si B^{•} ∈ Kom^{∗}(C) est un complexe à objets déployants pour RF et A^{•} ∈ Kom^{∗}(C_{1}^{I^{∘}}), RF (A^{•}, B^{•}) := F (A^{•}, B^{•}) ∈ D^{+}(C_{2}^{I^{∘}}) définit l’extension de RF (resp. LF) souhaitée. Les foncteurs F (−, B^{q}) (q ≥ 0) sont exacts, et commutent aux produits infinis. Il y a donc un isomorphisme naturel de complexes triples naifs

F (lim_{⟵}F l^{•}(A^{•}), B^{•}) ≃ lim_{⟵}F l^{•}(F (A^{•}, B^{•}))

fonctoriel en (A^{•}, B^{•}). En groupant de deux manières différentes, on obtient un isomorphisme de complexes simples, duquel se déduit celui de l’énoncé.

Le cas F exact à droite dérivable à gauche se traite de façon analogue. Expliquons la condition de dimension homologique finie : l’extension de F au complexes fait intervenir des sommes directes, alors que ci-dessus, le passage aux complexes simples fait intervenir des produits. La condition de dimension homologique finie permet de faire uniquement des produits finis.

4. Dualisons la contruction du 1. (i) : pour A ∈ C^{I}, posons Cofl(A) → A, où Cofl(A)_{i} = ⊕_{j≤i}A_{i} avec les flèches naturelles. De même, on définit Cofl^{•} : Kom_{naifs}^{a}(C′) → Kom_{naifs}^{a+1}(C′) et Cofl^{∗}(A^{•}) := T ot_{⊕}Cofl^{•}(A^{•}). Comme G est exact et transforme sommes en produits, on a pour A^{•} ∈ Kom^{−}(C′) un isomorphisme de doubles complexes naifs

G(lim_{⟶}Cofl^{•}(A^{•})) ≃ lim_{⟵}F l^{•}(G(A^{•}))

dont se déduit celui de l’énoncé en prenant les complexes totaux (noter que T ot_{Π} ∘ G ≃ G ∘ T ot_{⊕}).

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Remarque 2.10 Dans le point 3., on peut jouer sur la variance en les deux variables : soit en remplaçant C′ par sa catégorie opposée, soit en remplaçant C_{1} par sa catégorie opposée (dans ce cas, on utilise le point 4.). Ainsi, soit par exemple F : C′_{1} × C′ → C_{2} contravariant en la première variable et covariant en la seconde. On suppose que F est dérivable à droite, transforme sommes infinies en la première variable en produits infinis et que C′ possède suffisamment d’objets déployants. Soit C_{1} la catégorie opposée à C′_{1}, F′ : C_{1} × C′ → C_{2} le bifoncteur covariant déduit de F et G : C_{1} → C′_{1} le foncteur contravariant exact induit par l’identité. Combinant 2. et 3. on obtient :

RF (lim_{⟶}_{I}A, B) = RF′(G(lim_{⟶}_{I}A), B) ≃ RF′(Rlim_{⟵}_{I}G(A), B)

≃ Rlim_{⟵}_{I}RF′(G(A), B) = Rlim_{⟵}_{I}RF (A, B)

Dans ce travail, les passages à la limites apparaissent dans deux contextes différents :

- Le plus souvent, pour former les modules d’Iwasawa : I = N, la catégorie des sous-groupes ouverts de Γ et C_{1} = _{Λ}C. Par abus de langage, on parlera de la limite d’un système normique ; aussi Rlim_{⟵} désignera-t-il souvent le foncteur

composé D^{+}(\underline{Γ}C) → D^{+}(_{Λ}C^{I}) →^{Rlim_{⟵}} D^{+}(_{Λ}C).

On dit d’un système normique A ∈ \underline{Γ}C qu’il est de type fini sur ℤ_{p} si chaque π_{n}(A) = A_{n} l’est. On note \underline{Γ}C_{tf} ⊂ \underline{Γ}C la sous-catégorie des systèmes normiques de type fini, et Kom^{∗}(\underline{Γ}C)_{tf}, (resp. D^{∗}(\underline{Γ}C)_{tf}) la sous-catégorie pleine de Kom^{∗}(\underline{Γ}C) (resp. D^{∗}(\underline{Γ}C)) des complexes dont les objets de cohomologie sont dans dans \underline{Γ}C_{tf}. Pour les catégories de modules l’indice tf prend sa signification habituelle. Le fait suivant se déduit de 2.9 2. (ii) :

Proposition 2.11 Si A ∈ Kom^{+}(\underline{Γ}C)_{tf}, alors lim_{⟵}A → Rlim_{⟵}A est un isomorphisme (dans D^{+}(_{Λ}C)).

□

Comme la restriction de lim_{⟵} : \underline{Γ}C → _{Λ}C à \underline{Γ}C_{tf} est exacte, on voit que ℤ_{p}\underline{⊗}− : _{Λ}C → \underline{Γ}C (qui est l’adjoint à gauche de lim_{⟵}) vérifie la propriété suivante : Soit P un objet projectif de _{Λ}C, si ℤ_{p}\underline{⊗}P est de type fini alors c’est un objet projectif dans \underline{Γ}C_{tf}.

- Occasionnellement, pour former les modules de Tate, ou la cohomologie continue : I = ℕ, la catégorie des entiers naturels ordonnés, et C_{1} = \underline{Γ}C. On conviendra alors d’indexer les systèmes projectifs par la lettre k, et on notera Rlim_{⟵}_{k} au lieu de Rlim_{⟵}_{I}. Dans ce cadre, indiquons le rapport entre module de Tate et bidualité :

Lemme 2.12 Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C), A_{n} := π_{n}A. Alors :

(i) A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p^{k} ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} ⇔ Bid_{ℤ_{p}}(A) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}. Cela se produit si

et seulement si chaque ℤ_{p}-module H^{q}(A_{n}) possède une suite de composition dont chaque quotient est : soit de torsion et de ℤ_{p}-cotype fini, soit uniquement p-divisible, soit de ℤ_{p}-type fini.

(ii) Il y a un isomorphisme et une flèche naturelle

RHom_{ℤ_{p}}(ℚ_{p}/ℤ_{p}, A)[1] ≃ Rlim_{⟵}_{k}A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p^{k} → Bid_{ℤ_{p}}(A)

c’est isomorphisme si la condition (i) est satisfaite.

(iii) Supposons (i) satisfaite. Si de plus chaque ℤ_{p}-module H^{q}(A_{n}) est de

torsion, alors il y a un isomorphisme naturel A ≃ Bid_{ℤ_{p}}(A)⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}[−1]

Preuve : (i) Commençons par montrer trois faits :

(a) Bid_{ℤ_{p}}(A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p) ≃ Bid_{ℤ_{p}}(A)⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p.

En effet, si I (resp. P) désigne le complexe de ℤ_{p}-modules [ℚ_{p} → ℚ_{p}/ℤ_{p}] (resp. [ℤ_{p} →^{p} ℤ_{p}]) placé en degrés [0, 1] (resp. [−1, 0]), alors

Hom_{ℤ_{p}}(Hom_{ℤ_{p}}(A ⊗_{ℤ_{p}} P, I), I) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(Hom_{ℤ_{p}}(A, I), I) ⊗_{ℤ_{p}} P

d’où le résultat annoncé.

(b) A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} ⇔ Bid_{ℤ_{p}}(A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}.

En effet, si M est un ℤ_{p}-module tué par p, alors on a simplement

Bid_{ℤ_{p}}(M) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(Hom_{ℤ_{p}}(M, ℚ_{p}/ℤ_{p})[−1], ℚ_{p}/ℤ_{p})[−1]
≃ Hom_{ℤ_{p}}(Hom_{ℤ_{p}}(M, ℚ_{p}/ℤ_{p}), ℚ_{p}/ℤ_{p})
≃ Hom_{ℤ_{p}}(Hom_{ℤ_{p}}(M, ℤ/p), ℤ/p)

et l’on voit que M est de type fini si et seulement si Bid_{ℤ_{p}}(M) l’est ; l’assertion

annoncée s’en déduit par troncature de A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p.

(c) Si M ∈ _{ℤ_{p}}C, alors M⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p ∈ D^{b}(_{ℤ_{p}}C)_{tf} ⇔ M possède une suite de composition comme dans l’énoncé. L’implication ⇐ est évidente. Montrons ⇒. Soient M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ M définis de la manière suivante : M_{1} est le sous-module de torsion de M, et l’image de M_{2} dans M/M_{1} est le sous-groupe constitué des éléments infiniment pdivisibles (noter que M_{2}/M_{1} est p-divisible, car M/M_{1} est sans torsion). Alors M_{1}, M_{2}/M_{1}, M/M_{2} est la suite de composition annoncée. En effet : T or_{1}^{ℤ_{p}}(M_{1}, ℤ/p) = T or_{1}^{ℤ_{p}}(M, ℤ/p) est fini, donc M_{1} est de cotype fini ; M_{2}/M_{1} est uniquement p-divisible ; M_{2}/M_{1} = ∩_{k}p^{k}(M/M_{1}), si bien que M/M_{2} est p-adiquement séparé ; comme de plus T or_{0}^{ℤ_{p}}(M/M_{2}, ℤ/p) est fini, on voit tout de suite que lim_{⟵}(M/M_{2})/p^{k} est de type fini, donc M/M_{2} aussi.

Pour montrer (i), on fait un raisonnement en cercle :

- Si Bid_{ℤ_{p}}(A) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, alors il en est de même de Bid_{ℤ_{p}}(A)⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p,

puis de A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p, par (a) et (b).

- Si A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, alors pour tout q, on a H^{q}(A_{n})⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p ∈

D^{b}(_{ℤ_{p}}C)_{tf} (observer que la suite suite spectrale d’hypercohomologie du fonc-

teur (−)⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p dégénère en suites exactes courtes). D’après (c), H^{q}(A_{n}) possède donc une suite de composition comme dans l’énoncé.

- Si les H^{q}(A_{n}) possèdent une suite de composition comme dans l’énoncé, alors Bid_{ℤ_{p}}(H^{q}(A_{n})) ∈ D^{b}(_{ℤ_{p}}C)_{tf} (se ramener par dévissage aux trois cas suivants : 1) si M ∈ _{ℤ_{p}}C_{tf} est de torsion de cotype fini, alors RHom_{ℤ_{p}}(M, ℤ_{p}) = Hom_{ℤ_{p}}(M, ℚ_{p}/ℤ_{p})[−1] est de type fini, donc Bid_{ℤ_{p}}(M) aussi ; 2) si M ∈

ℤ_{p}C est uniquement p-divisible, M⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p} = 0, puis RHom_{ℤ_{p}}(M, ℤ_{p}) =

RHom_{ℤ_{p}}(M⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) = 0 et Bid_{ℤ_{p}}(A) = 0 ; 3) si M est de type

fini, alors M possède un résolution parfaite, et M ≃ Bid_{ℤ_{p}}(M) est aussi de type fini), et donc Bid_{ℤ_{p}}(A) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}.

(ii) Expliquons d’abord l’isomorphisme. Malheureusement, 2.9 3. ne suffit pas, et nous procéderons donc à la main. Soit (P_{k}) ∈ Kom^{b}(_{ℤ_{p}}C^{ℕ^{∘}}) (resp. (Q_{k}) ∈ Kom^{b}(_{ℤ_{p}}C^{ℕ})) le système projectif (resp inductif) évident des com-

plexes [ℤ_{p} →^{p^{k}} ℤ_{p}] placés en degrés [−1, 0] (resp. [0, 1]), de sorte que (P_{k}) = Hom_{ℤ_{p}}((Q_{k}), ℤ_{p}). Pour A ∈ Kom^{b}(\underline{Γ}C), on a dans Kom^{b}(\underline{Γ}C^{ℕ^{∘}}) des isomorphismes naturels

Hom_{ℤ_{p}}(Cofl^{∗}((Q_{k})), A) ≃ F l^{∗}(Hom_{ℤ_{p}}((Q_{k}), A)) ≃ F l^{∗}(A ⊗_{ℤ_{p}} (P_{k}))

dont celui de l’énoncé se déduit en appliquant lim_{⟵}_{k} (noter le quasi-isomorphis-

me lim_{⟶}Q_{k} ≃ ℚ_{p}/ℤ_{p}[−1]).

Passons à l’étude de la seconde flèche de l’énoncé. Dans D^{b}(\underline{Γ}C) (resp. D^{b}(_{ℤ_{p}}C^{ℕ^{∘}})) on a A → Bid_{ℤ_{p}}(A) (resp. (ℤ/p^{k}) ← ℤ_{p}) ; d’où, dans D^{b}(\underline{Γ}C^{ℕ^{∘}}) :

A⊗^{L}_{ℤ_{p}}(ℤ/p^{k}) →^{1} Bid_{ℤ_{p}}(A)⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p^{k} ←^{2} Bid_{ℤ_{p}}(A)

(le système projectif de droite est constant). On laisse au lecteur le soin de montrer que la flèche “2” donne un isomorphisme lorsqu’on lui applique Rlim_{⟵}_{k} (les foncteurs π_{n} et d’oubli permettent de travailler dans _{ℤ_{p}}C et _{ℤ_{p}}C^{ℕ^{∘}}

au lieu de \underline{Γ}C et \underline{Γ}C^{ℕ^{∘}}; on peut alors invoquer un argument de compacité, en mimant le raisonnement de 3.4 (iii)). La flèche de l’énoncé est donc construite.

Pour mémoire, notons que la flèche ainsi obtenue RHom_{ℤ_{p}}(ℚ_{p}/ℤ_{p}, A)[1] → Bid_{ℤ_{p}}(A) redonne la flèche de bidualité, lorsqu’on la compose avec la flèche évidente A = RHom_{ℤ_{p}}(ℤ_{p}, A) → RHom_{ℤ_{p}}(ℚ_{p}/ℤ_{p}, A)[1].

Reste à vérifier que la flèche “1” est un isomorphisme lorsque la condition (i) est vérifiée. Mais dans ce cas, l’analogue modulo p^{k} de (i) (a) permet d’in-

terpréter celle-ci comme la flèche de bidualité A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p^{k} → Bid_{ℤ_{p}}(A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p^{k}),

laquelle est un isomorphisme, puisque A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p^{k} ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}.

(iii) D’après (ii), la flèche de bidualité A → Bid_{ℤ_{p}}(A) s’identifie à A → RHom_{ℤ_{p}}(ℚ_{p}/ℤ_{p}, A)[1]. De là un triangle distingué

A → Bid_{ℤ_{p}}(A) → RHom_{ℤ_{p}}(ℚ_{p}, A)[1] → A[1]

duquel on tire A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p} ≃ Bid_{ℤ_{p}}(A)⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}. Sous nos hypothèses on

a de plus A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p} = 0, si bien que la flèche naturelle A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}[−1] → A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ_{p} = A est un isomorphisme. Le résultat suit.

□

3 Adjonction et dualité

On présente une étude de la dualité Λ-linéaire, selon une approche inspirée de [Jan89]. L’utilisation des catégories dérivées, largement influencée par [Nek06], montre ici toute son efficacité ; elle permet notamment la synthèse et la généralisation des résultats de [Vau06].

Comme on a choisi de travailler avec des Λ-modules non topologisés, il convient de faire une hypothèse de noethérianité : dans cette section et dans tout le reste de l’article, on fait sur Γ les hypothèses suivantes :

- Λ = ℤ_{p}[[Γ]] est noethérien.

- La dimension homologique globale de Λ est finie (ie. la p-dimension cohomologique de Γ est finie, cf [Bru66]). La seconde hypothèse nous est imposée par le domaine de définition des divers foncteurs dérivés qu’on utilise. Elle est superflue en de nombreux endroits, si l’on agrandit précautionneusement les domaines de définition en question. Il est bien connu que la première condition est vérifiée notamment si Γ est un pro-p-groupe analytique (cf [Laz65] V.2.2.4). Lorsque de plus la seconde est vérifiée, alors Γ est automatiquement un groupe de Poincaré (loc. cit V.2.5.8 et ref.).

3.1 Un résultat général

Dans notre contexte, la dualité homologie/cohomologie prend la forme du lemme suivant :

Lemme 3.1 Il y a dans D^{b}(C\underline{Γ}) un isomorphisme fonctoriel en A ∈ D^{b}(_{Γ}C) :

RHom_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A), ℤ_{p}) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})\underline{⊗^{L}}ℤ_{p}

Preuve : D’après 2.7 (ii), il y a D^{b}(\underline{Γ}C) une flèche fonctorielle en A :

R\underline{Γ}(A) → \underline{RHom}(ℤ_{p}, A)

Le triangle distingué tautologique A → A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p} → A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p} → A[1] donne donc lieu donne lieu à un carré commutatif

RHom_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A), ℤ_{p})  ⟶  RHom_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}), ℤ_{p})[1]
↑  ↑
RHom_{ℤ_{p}}(\underline{RHom}(ℤ_{p}, A), ℤ_{p}) ⟶ RHom_{ℤ_{p}}(\underline{RHom}(ℤ_{p}, A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}), ℤ_{p})[1]

Les deux flèches horizontales sont des isomorphismes, car RHom_{ℤ_{p}}(−, ℤ_{p}) s’annule sur tous les complexes dont la cohomologie est uniquement divisible. La seconde flèche verticale est un isomorphisme par 2.7 (iii). La première flèche verticale est donc elle aussi un isomorphisme, et l’on conclut en invoquant l’isomorphisme d’évaluation 2.6 2. (ii)-(iii) :

RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})\underline{⊗^{L}}ℤ_{p} ≃ RHom_{ℤ_{p}}(\underline{RHom}(ℤ_{p}, A), ℤ_{p})

□

Théorème 3.2 On rappelle que \underline{Λ} ∈ \underline{Γ}C_{Λ} désigne le système normique canonique (ℤ_{p}[G_{n}]).

(i) Pour M ∈ D^{b}(C_{Λ}), il y a dans \underline{Γ}C un isomorphisme fonctoriel :

RHom_{ℤ_{p}}(M\underline{⊗^{L}}ℤ_{p}, ℤ_{p}) ≃ RHom_{Λ}(M, \underline{Λ})

(ii) Pour A ∈ D^{b}(_{Γ}C), il y a dans \underline{Γ}C un isomorphisme fonctoriel :

Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A)) ≃ RHom_{Λ}(RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p}), \underline{Λ})

Preuve : (i) Par adjonction, puis induction, on a :

RHom_{ℤ_{p}}(M\underline{⊗^{L}}ℤ_{p}, ℤ_{p}) ≃ R\underline{Hom}(M, RHom_{ℤ_{p}}(ℤ_{p}, ℤ_{p}))

≃ R\underline{Hom}(M, ℤ_{p})
≃ RHom_{Λ}(M, \underline{Coind}ℤ_{p})

d’où le résultat, puisque dans \underline{Γ}C_{Λ} : \underline{Λ} ≃ \underline{Coind}ℤ_{p}.

(ii) Appliquant RHom_{ℤ_{p}}(−, ℤ_{p}) au lemme 3.1, on obtient dans D^{b}(\underline{Γ}C) :

Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A)) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})\underline{⊗^{L}}ℤ_{p}, ℤ_{p})

On conclut par (i), appliqué à M = RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p}) ∈ D^{b}(C_{Λ}).

□

Corollaire 3.3 Il y a dans D^{b}(_{Λ}C) des isomorphismes fonctoriels :

(i) Pour M ∈ D^{b}(C_{Λ}), RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}M\underline{⊗^{L}}ℤ_{p}, ℤ_{p}) ≃ RHom_{Λ}(M, Λ).

(ii) Pour A ∈ D^{b}(_{Γ}C), Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A)) ≃ RHom_{Λ}(RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p}), Λ).

Preuve : (i) Les compatibilités entre homomorphismes et limites donnent ici (2.9 3. et remarque) :

RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}M\underline{⊗^{L}}ℤ_{p}, ℤ_{p}) ≃ Rlim_{⟵}RHom_{ℤ_{p}}(M\underline{⊗^{L}}ℤ_{p}, ℤ_{p})

≃ Rlim_{⟵}RHom_{Λ}(M, \underline{Λ})

≃ RHom_{Λ}(M, Rlim_{⟵}\underline{Λ})

≃ RHom_{Λ}(M, Λ)

De même, (ii) découle de 3.2 en appliquant Rlim_{⟵}.

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3.2 Le cas des groupes de Poincaré

Proposition 3.4 On suppose que Γ est un groupe de Poincaré de dimension d, ie. D(Γ) ≃ ℚ_{p}/ℤ_{p}[d] (cf. 7.3) ; alors :

(i) Dans D^{b}(C\underline{Γ}), fonctoriellement en A ∈ D^{b}(_{Γ}C) :

RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})\underline{⊗^{L}}ℤ_{p} ≃ RHom_{ℤ_{p}}(ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}A, ℤ_{p})[d]

(ii) Si A ∈ D^{b}(_{Γ}C)_{tf}, alors dans D^{b}(C\underline{Γ}) :

RHom_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A), ℤ_{p}) ≃ Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})))[d]

Aussi, si A ∈ _{Γ}C est fini : Hom_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A), ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≃ R\underline{Γ}(Hom_{ℤ_{p}}(A, ℚ_{p}/ℤ_{p}))[d]. (iii) Si A ∈ D^{b}(_{Γ}C), alors dans D^{b}(C_{Λ}) : RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p}) ≃ RHom_{Λ}(A, Λ)[d].

Preuve : (i) Le théorème 7.3, ou plutôt 7.4 (iii), donne ici

RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})\underline{⊗^{L}}ℤ_{p} ≃ R\underline{Hom}(A, ℤ_{p}[d])

Le résultat s’en déduit via l’isomorphisme de 3.2 (i) :

R\underline{Hom}(A, ℤ_{p}) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}A, ℤ_{p})

(ii) Comme A = Bid_{ℤ_{p}}(A), le lemme 3.1 et sa version à droite donnent :

RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})\underline{⊗^{L}}ℤ_{p} ≃ RHom_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A), ℤ_{p})

ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}A ≃ RHom_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})), ℤ_{p})

d’où le résultat de l’énoncé, en remplaçant dans (i).

Si A ∈ _{Γ}C est fini, alors les groupes de cohomologie de R\underline{Γ}(RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})) le sont aussi (car Λ est noethérien ; utiliser par exemple 2.7), et l’isomorphisme de l’énoncé suit.

(iii) Par 7.4 (iii) et induction, on a dans D^{b}(C\underline{Γ}) :

RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})⊗^{L}_{Λ}\underline{Λ} ≃ RHom(A, ℤ_{p})\underline{⊗^{L}}ℤ_{p} ≃ R\underline{Hom}(A, ℤ_{p}[d]) ≃ RHom_{Λ}(A, \underline{Λ})[d]

D’après 2.9 3., RHom_{Λ}(A, Λ) ≃ Rlim_{⟵}RHom_{Λ}(A, \underline{Λ}). Reste à montrer que la

flèche naturelle de D^{b}(C_{Λ})

(∗) RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p}) → Rlim_{⟵}(RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})⊗^{L}_{Λ}\underline{Λ})

est un isomorphisme (ce qu’il suffit de vérifier dans D^{b}(_{ℤ_{p}}C), par oubli). Maintenant les objets de cohomologie de RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p}) sont des Λ-modules topologiques compacts, puisque d’après 2.10 et 2.9 2. (ii) :

Ext^{q}(A, ℤ_{p}) ≃ R^{q}lim_{⟵}RHom_{ℤ_{p}}(A_{i}, ℤ_{p}) ≃ lim_{⟵}Ext_{ℤ_{p}}^{q}(A_{i}, ℤ_{p})

si A = lim_{⟶}A_{i} avec A_{i} des complexes à objets de ℤ_{p}-type fini. Par troncature du complexe RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p}), il suffit donc de montrer que la flèche naturelle de D^{b}(C_{ℤ_{p}})

(∗∗) M → Rlim_{⟵}(M⊗^{L}_{Λ}ℤ_{p}[G_{n}])

est un isomorphisme pour tout M ∈ C_{Λ} provenant par oubli de la catégorie C_{Λ−comp} des Λ-modules (à droite) topologiques compacts.

D’après [Bru66], M possède une résolution P → M, où P ∈ Kom^{b}(C_{Λ−comp}) est à objets projectifs (dans C_{Λ−comp}). Fixons encore L_{n} → ℤ_{p}[G_{n}] un système projectif de résolutions parfaites dans _{Λ}C. Ont alors lieu dans Kom^{b}(_{ℤ_{p}}C^{N^{∘}}) des quasi-isomorphismes (pour le premier, cf [Bru66] 2.1) :

P ˆ⊗ℤ_{p}[G_{n}] ← P ˆ⊗_{Λ}L_{n} = P ⊗_{Λ} L_{n} → M ⊗_{Λ} L_{n}

Ici ˆ⊗_{Λ} : C_{Λ−comp} × _{Λ−comp}C → _{ℤ_{p}}C désigne le produit tensoriel complété (il coïncide avec ⊗_{Λ} lorsque le second argument est dans _{Λ}C_{tf}, vue comme

sous-catégorie pleine de _{Λ−comp}C). Aussi P ˆ⊗_{Λ}ℤ_{p}[G_{n}] ≃ M⊗^{L}_{Λ}ℤ_{p}[G_{n}] dans D^{b}(_{ℤ_{p}}C^{N^{∘}}). Comme les objets du complexe P ˆ⊗_{Λ}ℤ_{p}[G_{n}] sont des systèmes projectifs de ℤ_{p}-modules topologiques compacts, donc déployants pour Rlim_{⟵} (2.9 2. (ii)), la flèche (∗∗) est représentée par P → lim_{⟵}P ⊗_{Λ} ℤ_{p}[G_{n}]. C’est bien un isomorphisme, puisque les objets de P sont compacts.

□

Corollaire 3.5 Si Γ est un groupe de Poincaré de dimension d, alors, fonctoriellement en A ∈ D^{b}(_{Γ}C) :

Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}R\underline{Γ}(A) ≃ Bid_{Λ}(A)[−d]

Preuve : On réécrit 3.3 (ii) en tenant compte de 3.4 (iii).

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4 Descente et codescente

Si A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C) est de la forme R\underline{Γ}(A_{∞}) pour un certain A_{∞} ∈ D^{b}(_{Γ}C), la connaissance de A équivaut à celle de lim_{⟶}A ≃ A_{∞}. Dans ces conditions, il y a un isomorphisme naturel, donné par le corollaire 3.3 :

X_{∞} ≃ RHom_{Λ}(RHom_{ℤ_{p}}(A_{∞}), ℤ_{p}), Λ)

et cela répond à la question 1.2.

Le but de cette section est la construction, pour A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C) quelconque, d’un triangle distingué qui généralise l’isomorphisme précédent. Comme expliqué dans l’introduction, on en donne en fait deux contructions duales, dont la comparaison aboutit à une relation non triviale entre le “défaut de descente” du sytème A et son “défaut de codescente”.

4.1 Triangles de (co)-descente : j(A) et k(A)

A chaque objet A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C), sont associés fonctoriellement les objets suivants :

- A_{n} := π_{n}(A) ∈ D^{b}(_{G_{n}}C), pour chaque n ∈ N (cf 2.5).

- A^{∗} := RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p}) ∈ D^{b}(C\underline{Γ}), A_{n}^{∗} := π_{n}(A^{∗}) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(A_{n}, ℤ_{p}) ∈ D^{b}(C_{G_{n}}).

- A_{∞} := lim_{⟶}A ∈ D^{b}(_{Γ}C) et A_{∞}^{∗} := lim_{⟶}A^{∗} ∈ D^{b}(C_{Γ}).

- X_{∞} := Rlim_{⟵}A ∈ D^{b}(_{Λ}C) et X_{∞}^{∗} := Rlim_{⟵}A^{∗} ≃ RHom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p}) ∈ D^{b}(C_{Λ}).

On rappelle que pour A ∈ Kom^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, la flèche canonique lim_{⟵}A →

X_{∞} est un isomorphisme dans D^{b}(_{Λ}C) (2.11), ie. H^{q}(X_{∞}) ≃ lim_{⟵}H^{q}(A_{n}). Commençons par un critère de noethérianité pour X_{∞} et X_{∞}^{∗}.

Lemme 4.1 Soit Γ_{n} un sous-groupe ouvert de Γ.

1. Soit A ∈ \underline{Γ}C_{tf}, alors X_{∞} = lim_{⟵}A ∈ _{Λ}C_{tf} si et seulement si ℤ_{p} ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} X_{∞}

est de ℤ_{p}-type fini. Si c’est le cas, alors ℤ_{p}⊗^{L}_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}X_{∞} ∈ D^{b}(_{ℤ_{p}}C)_{tf}.

2. Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, alors :

(i) X_{∞} ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf} si et seulement si ℤ_{p}⊗^{L}_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}X_{∞} ∈ D^{b}(_{G_{n}}C)_{tf}.

(ii) X_{∞}^{∗} ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf} est si et seulement RHom_{ℤ_{p}}(RΓ(Γ_{n}, A_{∞}), ℤ_{p}) ∈ D^{b}(C_{G_{n}})_{tf}. Cela se produit si et seulement si Ext_{ℤ_{p}}^{p}(R^{q}Γ(Γ_{n}, A_{∞}), ℤ_{p}) est de type fini sur ℤ_{p} pour p = 0, 1, q ∈ ℤ.

Preuve : 1. X_{∞} étant profini, on peut le munir de sa topologie compacte, et celle-ci est compatible avec l’action de Λ. On applique alors la version topologique du lemme de Nakayama.

2. (i) On va appliquer 1. aux Λ-modules H^{q}(X_{∞}) = lim_{⟵}H^{q}(A_{n}). Observons la suite spectrale d’hypercohomologie :

E_{2}^{p,q} = T or_{−p}^{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}(ℤ_{p}, H^{q}(X_{∞})) ⇒ T or_{p+q}^{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}(ℤ_{p}, X_{∞}) = E^{p+q}

Si X_{∞} ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf}, alors les E_{2}^{p,q} sont de type fini sur Λ, donc les E^{p+q}

aussi, ie. ℤ_{p}⊗^{L}_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}X_{∞} ∈ D^{b}(_{ℤ_{p}}C)_{tf}.

Réciproquement, supposons les E^{p+q} de type fini sur Λ, et montrons que les H^{q}(X_{∞}) le sont aussi. Ayant remarqué les équivalences suivantes, données par le point 1 :

H^{q}(X_{∞}) ∈ (_{Λ}C)_{tf} ⇔ E_{2}^{0,q} ∈ (_{Λ}C)_{tf} ⇔ (∀p, E_{2}^{p,q} ∈ (_{Λ}C)_{tf})

on procède par récurrence descendante sur q, pour montrer que E_{2}^{0,q} ∈ (_{Λ}C)_{tf} (noter que E_{2}^{0,q} = 0 pour q >> 0) : le terme initial E_{2}^{0,q} = ℤ_{p} ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} H^{q}(X_{∞}) est une extension d’un sous-module de E^{q} = T or_{q}^{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}(ℤ_{p}, X_{∞}) (de type fini par hypothèse) par un Λ-module qui possède une filtration dont les graduations sont des quotients des E_{2}^{−r−1,q+r} = T or_{r+1}^{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}(ℤ_{p}, H^{q+r}(X_{∞})), r ≥ 1, lesquels sont noethériens par hypothèse de récurrence.

(ii) Le point précédent possède bien sûr une variante à droite ; appliquons

celle-ci à X_{∞}^{∗} = Rlim_{⟵}A^{∗}. Comme X_{∞}^{∗}⊗^{L}_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}ℤ_{p} ≃ RHom_{ℤ_{p}}(RΓ(Γ_{n}, A_{∞}), ℤ_{p})

(cf. 3.1), le résultat se lit sur la suite spectrale

Ext_{ℤ_{p}}^{p}(R^{−q}Γ(Γ_{n}, A_{∞}), ℤ_{p}) ⇒ Ext_{ℤ_{p}}^{p+q}(RΓ(Γ_{n}, A_{∞}), ℤ_{p})

dans laquelle E_{2}^{p,q} = 0 pour p ≠ 0, 1.

□

Passons à la construction des “triangles de descente” (resp. de codescente). Pour chaque A_{n} il existe dans D^{b}(_{G_{n}}C) un morphisme naturel de des-

cente j_{A,n} : A_{n} → RΓ(Γ_{n}, A_{∞}) (resp. de codescente k_{A,n} : ℤ_{p}⊗^{L}_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}X_{∞} →

A_{n}). Il s’agit de relever cette collection de morphismes en une flèche de D^{b}(\underline{Γ}C), et de munir cette dernière d’un cône fonctoriel.

Proposition 4.2 Soit T r(D^{b}(\underline{Γ}C)) la catégorie des triangles distingués de D^{b}(\underline{Γ}C).

(i) Il existe un foncteur j : D^{b}(\underline{Γ}C) → T r(D^{b}(\underline{Γ}C)) :

A ↦ j(A) := (A →^{j_{A}} R\underline{Γ}(A_{∞}) → C(j_{A}) → A[1])

tel que π_{n}(j_{A}) = j_{A,n}.

(ii) Il existe un foncteur k : D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} → T r(D^{b}(\underline{Γ}C)) :

A ↦ k(A) := (ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}X_{∞} →^{k_{A}} A → C(k_{A}) → ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}X_{∞}[1])

tel que π_{n}(k_{A}) = k_{A,n}.

Preuve : (i) Il suffit de construire un foncteur j̃ : Kom^{b}(\underline{Γ}C) → T r(Kom^{b}(\underline{Γ}C)) préservant les quasi-isomorphismes, et qui vérifie les conditions suivantes :

- les premier et second termes du triangle j̃(A) ont respectivement pour image A et R\underline{Γ}(A_{∞}) dans D^{b}(\underline{Γ}C)

- la première flèche de j̃(A) a pour image j_{A,n} dans D(_{G_{n}}C). Une fois j̃ construit, on définit j(A) comme l’image de j̃(A) dans D^{b}(\underline{Γ}C). Pour construire j̃, considérons K^{∗} : (−) : Kom^{b}(_{Γ}C) → Kom^{b}(_{Γ}C), le foncteur résolvant construit par Verdier dans [Ser97], annexe au chapitre I. Celuici est muni d’un quasi-isomorphisme fonctoriel en B : B → K^{∗}(B), et les objets du complexe K^{∗}(B) sont Γ-cohomologiquement triviaux, de sorte que Γ(Γ_{n}, K^{∗}(B)) représente RΓ(Γ_{n}, B). Par définition, le morphisme de descente j_{A,n} est alors représenté par la flèche composée A_{n} → Γ(Γ_{n}, lim_{⟶}A) → Γ(Γ_{n}, K^{∗}(lim_{⟶}A)). Comme remarqué dans les préliminaires, cette flèche res-

pecte la structure de système normique, et donne une flèche j̃_{A} : A → \underline{Γ}(K^{∗}(lim_{⟶}A)) dans Kom^{b}(\underline{Γ}C). A donc lieu dans Kom^{b}(\underline{Γ}C) un triangle dis-

tingué tautologique, fonctoriel en A ∈ Kom^{b}(\underline{Γ}C) :

j̃(A) := (A →^{j̃_{A}} Γ(Γ_{n}, K^{∗}(lim_{⟶}A)) → C(j̃_{A}) → A[1])

Celui-ci vérifie bien les deux propriétés annoncées, et cela termine la preuve.

(ii) Fixons une fois pour toutes une résolution projective P → ℤ_{p} dans D^{b}(_{Λ}C). Si A ∈ Kom^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, alors X_{∞} ∈ D^{b}(_{Λ}C) est représenté par lim_{⟵}A

(2.11), et la flèche de codescente k_{A,n} de D^{b}(_{G_{n}}C), par la flèche composée : P ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} lim_{⟵}A → ℤ_{p} ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} lim_{⟵}A → A_{n}. Comme en (i), on note que cette

dernière flèche a en fait lieu dans Kom^{b}(\underline{Γ}C), et donne un triangle distingué tautologique fonctoriel dont le foncteur k est déduit par localisation.

□

Remarque 4.3 1. Soit A ∈ Kom^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}. Alors :

(i) Les flèches j_{A} et k_{A} ne dépendent pas des résolutions qu’on a choisies. Par ailleurs, on peut aussi expliciter k_{A} à l’aide d’une résolution projective de lim_{⟵}A : soit P → lim_{⟵}A une telle résolution, alors k_{A} est représentée par la flèche composée ℤ_{p}\underline{⊗}P → ℤ_{p}\underline{⊗}lim_{⟵}A → A.

(ii) Remplacer K^{∗}(A) par une autre résolution Γ-acyclique de A dans la preuve ci-dessus remplace j(A) par un autre triangle distingué, qui lui est (non canoniquement) isomorphe. Remarque analogue pour P et k_{A}.

2. Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C), non dans D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}. Si A est représenté par un complexe de \underline{Γ}C dont les objets sont acycliques pour le foncteur Rlim_{⟵}, alors la construction de k(A) tient encore. J’ignore si l’on peut trouver un tel complexe pour tout A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C).

Remarque 4.4 Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, alors 4.1 montre que :

(i) X_{∞} ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf} ⇔ C(k_{A}) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}.

(ii) X_{∞}^{∗} ∈ D^{b}(C_{Λ})_{tf} ⇔ RHom_{ℤ_{p}}(C(j_{A}), ℤ_{p}) ∈ D^{b}(C\underline{Γ})_{tf}

Proposition 4.5 Notons encore k : D^{b}(C\underline{Γ})_{tf} → T r(D^{b}(C\underline{Γ})) l’analogue à droite du foncteur k de la proposition précédente. Si A^{∗} ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, il y a dans D^{b}(\underline{Γ}C) un diagramme commutatif, fonctoriel en A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C) :

(X_{∞}^{∗}\underline{⊗^{L}}ℤ_{p})  ⟶^{k_{A∗}}  A^{∗}
ev ↓  id ↓
RHom_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A_{∞}), ℤ_{p}) ⟶^{RHom_{ℤp}(j_{A},ℤ_{p})} RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})

Preuve : Soit A ∈ Kom^{b}(\underline{Γ}C), tel que A^{∗} ∈ D^{b}(C\underline{Γ})_{tf}. Si I ∈ Kom^{b}(_{ℤ_{p}}C) est une résolution injective de ℤ_{p}, alors X_{∞}^{∗} ∈ D^{b}(C_{Λ}) est représenté par le complexe lim_{⟵}Hom_{ℤ_{p}}(A, I) = Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}A, I). Soient maintenant P → ℤ_{p} et lim_{⟶}A → K^{∗}(lim_{⟶}A) les résolutions de la preuve précédente, et considérons le

diagramme commutatif de Kom^{b}(C\underline{Γ}) :

lim_{⟵}Hom_{ℤ_{p}}(A, I)\underline{⊗}P  ⟶  lim_{⟵}Hom_{ℤ_{p}}(A, I)\underline{⊗}ℤ_{p}  ⟶ Hom_{ℤ_{p}}(A, I)
↑  ≀ ↓  id ↓
Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}K^{∗}(A), I)\underline{⊗}P  ⟶  Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}A, I)\underline{⊗}ℤ_{p}  ⟶ Hom_{ℤ_{p}}(A, I)
ev ↓  ev ↓  id ↓
Hom_{ℤ_{p}}(\underline{Hom}(P, K^{∗}(lim_{⟶}A)), I) ⟶ Hom_{ℤ_{p}}(\underline{Hom}(ℤ_{p}, lim_{⟶}A), I) ⟶ Hom_{ℤ_{p}}(A, I)
↓  ≀ ↓  id ↓
Hom_{ℤ_{p}}(\underline{Γ}(K^{∗}(lim_{⟶}A)), I)  ⟶  Hom_{ℤ_{p}}(\underline{Γ}(lim_{⟶}A), I)  ⟶ Hom_{ℤ_{p}}(A, I)

Dans celui-ci, la ligne supérieure (resp. inférieure) représente k_{A^{∗}} (resp. RHom_{ℤ_{p}}(j_{A}, ℤ_{p})) et toutes les flèches verticales sont des quasi-isomorphismes, ainsi que les flèches horizontales de gauche. On obtient le carré commutatif de l’énoncé en identifiant, dans D^{b}(\underline{Γ}C), les deux premières colonnes, ainsi que les deux premières et les deux dernières lignes.

□

4.2 Triangles d’adjonction : α_{j}(A) et α_{k}(A)

Nous sommes maintenant en mesure d’établir le

Théorème 4.6 Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, alors

(i) Dans D^{b}(\underline{Γ}C), fonctoriellement en A : C(j_{A}) ≃ C(j_{C(k_{A})}). Si de plus X_{∞}^{∗} ∈ D^{b}(C_{Λ})_{tf}, alors Bid_{ℤ_{p}}C(j_{A}) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} et C(k_{A}) ≃ C(k_{Bid_{ℤp}C(j_{A})})[−1].

(ii) Le foncteur j donne lieu à un triangle distingué, fonctoriel en A :

α_{j}(A) := (X_{∞} →^{α_{j}} RHom_{Λ}(X_{∞}^{∗}, Λ) → Δ_{j}(A) → X_{∞}[1])

dans lequel Δ_{j}(A) := Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(C(j_{A})).

(iii) Le foncteur k donne lieu à un triangle distingué, fonctoriel en A :

α_{k}(A) := (X_{∞}^{∗} →^{α_{k}} RHom_{Λ}(X_{∞}, Λ) → Δ_{k}(A) → X_{∞}^{∗}[1])

dans lequel Δ_{k}(A) := RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}C(k_{A}), ℤ_{p})[1].

(iv) Supposons de plus X_{∞} ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf}, alors il y a un isomorphisme de triangles α_{j}(A) ≃ RHom_{Λ}(α_{k}(A), Λ) fonctoriel en A, ie :

X_{∞}  ⟶^{α_{j}}  RHom_{Λ}(X_{∞}^{∗}, Λ) ⟶  Δ_{j}(A)  ⟶  X_{∞}[1]
↓  id ↓  ↓  ↓
Bid_{Λ}(X_{∞}) ⟶^{RHom_{Λ}(α_{k},Λ)} RHom_{Λ}(X_{∞}^{∗}, Λ) ⟶ RHom_{Λ}(Δ_{k}(A), Λ)[1] ⟶ Bid_{Λ}(X_{∞})[1]

En particulier, Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(C(j_{A})) ≃ RHom_{Λ}(RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}C(k_{A}), ℤ_{p}), Λ).

Preuve : (i) Considérons B := ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}X_{∞} ∈ D^{b}(\underline{Γ}C), et appliquons le foncteur

j aux objets et flèches du triangle k(A) = (B →^{k_{A}} A → C(k_{A}) → B[1]). On obtient alors un diagramme commutatif dont chaque ligne et colonne est un triangle distingué de D^{b}(\underline{Γ}C) :

B ⟶^{j_{B}} R\underline{Γ}(B_{∞}) ⟶ C(j_{B}) ⟶ B[1]
↓  R\underline{Γ}(k_{A}) ↓  ↓  ↓
A ⟶^{j_{A}} R\underline{Γ}(A_{∞}) ⟶ C(j_{A}) ⟶ A[1]
↓  ↓  ↓  ↓
C(k_{A}) ⟶^{j_{C(k_{A})}} R\underline{Γ}(C(k_{A})_{∞}) ⟶ C(j_{C(k_{A})}) ⟶ C(k_{A})[1]
↓  ↓  ↓
B[1] ⟶^{j_{B}[1]} R\underline{Γ}(B_{∞})[1] ⟶ C(j_{B})[1]

Pour obtenir le premier isomorphisme de l’énoncé, il suffit de montrer que C(j_{B}) = 0, ie. que j_{B} est un isomorphisme. Soit P ∈ Kom^{b}(_{Λ}C) un complexe à objets projectifs représentant X_{∞}. Comme les objets du complexe lim_{⟶}ℤ_{p}\underline{⊗}P sont Γ-cohomologiquement triviaux, la flèche j_{B} est représentée par ℤ_{p}\underline{⊗}P → \underline{Γ}(lim_{⟶}ℤ_{p}\underline{⊗}P). C’est un isomorphisme de Kom^{b}(\underline{Γ}C), puisque les objets de P sont des facteurs directs de Λ-modules libres, et que C(j\underline{Λ}) = 0.

Passons au second isomorphisme. L’hypothèse de finitude sur X_{∞}^{∗} nous assure que D := Bid_{ℤ_{p}}R\underline{Γ}(A_{∞}) est dans D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}. Aussi le triangle distingué

Bid_{ℤ_{p}}(j(A)) = (Bid_{ℤ_{p}}A →^{Bid_{ℤp}(j_{A})} D → Bid_{ℤ_{p}}C(j_{A}) → Bid_{ℤ_{p}}A[1])

a-t-il lieu dans D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}. On peut donc lui appliquer le foncteur k et cela donne en particulier un nouveau triangle distingué :

C(k_{Bid_{ℤp}A}) → C(k_{D}) → C(k_{Bid_{ℤp}C(j_{A})}) → C(k_{Bid_{ℤp}A})[1]

Comme A ≃ Bid_{ℤ_{p}}(A), il reste à montrer que C(k_{D}) = 0. Pour ce faire, nous utilisons le théorème 3.2, selon lequel D ≃ RHom_{Λ}(X_{∞}^{∗}, \underline{Λ}). Soit P ∈ Kom^{b}(C_{Λ}) un complexe parfait représentant X_{∞}^{∗}, de sorte que le complexe Hom_{Λ}(P, Λ) ∈ Kom^{b}(_{Λ}C) est parfait aussi. Mais alors k_{D} est représentée par ℤ_{p}\underline{⊗}Hom_{Λ}(P, Λ) → Hom_{Λ}(P, \underline{Λ}) ; c’est visiblement un isomorphisme, et l’on a bien C(k_{D}) = 0.

(ii) Appliquer le foncteur Rlim_{⟵} ∘ Bid_{ℤ_{p}}(−) au triangle distingué j(A) en donne un nouveau :

Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(A) → Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A_{∞})) → Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}C(j_{A}) → Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(A)[1]

D’où celui de l’énoncé, compte tenu du corollaire 3.3 (ii) appliqué à A_{∞} ∈ D^{b}(_{Γ}C), et de l’isomorphisme A ≃ Bid_{ℤ_{p}}(A) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}.

(iii) Appliquer le foncteur RHom_{ℤ_{p}}(−, ℤ_{p}) ∘ lim_{⟶} au triangle distingué k(A) en donne un nouveau :

X_{∞}^{∗} → RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}X_{∞}, ℤ_{p}) → RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}C(k_{A}), ℤ_{p})[1] → X_{∞}^{∗}[1]

D’où celui de l’énoncé, puisque d’après l’analogue à gauche de 3.3 (i) :

RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}X_{∞}, ℤ_{p}) ≃ RHom_{Λ}(X_{∞}, Λ)

(iv) Soit comme en (i), B = ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}X_{∞}. L’hypothèse de finitude sur X_{∞} nous assure que B, C(k_{A}) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}. Sachant que A ≃ Bid_{ℤ_{p}}(A), B ≃ Bid_{ℤ_{p}}(B), C(k_{A}) ≃ Bid_{ℤ_{p}}(C(k_{A})) et C(j_{B}) = 0, on obtient en appliquant Rlim_{⟵} ∘ Bid_{ℤ_{p}}(−) au premier diagramme de la preuve :

Rlim_{⟵}B  ⟶ Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(B_{∞})) ⟶  0  ⟶ Rlim_{⟵}B[1]
↓  ↓  ↓  ↓
X_{∞}  ⟶ Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A_{∞})) ⟶ Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(C(j_{A})) ⟶  X_{∞}[1]
↓  ↓  ↓  ↓
Rlim_{⟵}C(k_{A}) ⟶ Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(C(k_{A})_{∞})) ⟶ Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(C(j_{C(k_{A})})) ⟶ Rlim_{⟵}C(k_{A})[1]
↓  ↓  ↓
Rlim_{⟵}B[1] ⟶ Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(B_{∞}))[1] ⟶  0

Dans ce diagramme commutatif, chaque ligne ou colonne est un triangle distingué de D^{b}(_{Λ}C). De plus :

- La seconde ligne du diagramme s’identifie au triangle α_{j}(A), par construction de ce dernier.

- La seconde colonne s’identifie à RHom_{Λ}(α_{k}(A), Λ), comme cela résulte des isomorphismes de triangles distingués suivants (3.3) :

Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(lim_{⟶}k(A))) ≃ RHom_{Λ}(RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}k(A), ℤ_{p}), Λ)

≃ RHom_{Λ}(α_{k}(A), Λ)

Pour obtenir l’isomorphisme souhaité entre les triangles RHom_{Λ}(α_{k}(A), Λ) et α_{j}(A), il suffit donc de montrer que Rlim_{⟵}C(k_{A}) = 0. Mais cela relève du même argument que la preuve de 3.4 (iii).

□

Corollaire 4.7 Si A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} et X_{∞}^{∗} ∈ D^{b}(C_{Λ})_{tf}, alors

C(j_{A}) = 0 ⇔ C(k_{A}) = 0

Preuve : Cela résulte immédiatement de 4.6 (i).

□

Corollaire 4.8 Si Γ est un groupe de Poincaré de dimension d (par exemple Γ ≃ ℤ_{p}^{d}), alors

Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(C(j_{A})) ≃ Bid_{Λ}(lim_{⟶}C(k_{A}))[−d]

Preuve : On réécrit simplement 4.6 (iv), à l’aide de 3.4 (iii).

□

On relève un critère de noethérianité pour X_{∞}^{∗}, utile en pratique :

Corollaire 4.9 On suppose A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} et X_{∞} ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf}. Alors X_{∞}^{∗} ∈ D^{b}(C_{Λ})_{tf} si et seulement si RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}C(k_{A}), ℤ_{p}) ∈ D^{b}(C_{Λ})_{tf}.

Preuve : L’équivalence se lit sur le triangle distingué α_{k}(A).

□

Remarque 4.10 Pour A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C) non nécessairement dans D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, le triangle distingué α_{j}(A) admet une généralisation évidente :

Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(A) → RHom_{Λ}(X_{∞}^{∗}, Λ) → Δ_{j}(A) → Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(A)[1]

De la même façon, lorsqu’on est dans le cas de 4.3 (iii), il est possible de généraliser une partie des résultats.

Remarque 4.11 Disons qu’un foncteur F : D^{b}(C) → D^{b}(C′) covariant (resp. contravariant) est d’amplitude [a, b] s’il possède la propriété suivante : “A acyclique hors de [α, β] ⇒ F (A) acyclique hors de [α+a, β +b] (resp. [a− β, b − α])”. On a jusqu’ici défini trois foncteurs exacts covariants : C(j_{(−)}) : D^{b}(\underline{Γ}C) → D^{b}(\underline{Γ}C), Δ_{j} : D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} → D^{b}(_{Λ}C), C(k_{(−)}) : D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} → D^{b}(_{Λ}C), et un contravariant : Δ_{k} : D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} → D^{b}(C_{Λ}). Si cd_{p}Γ = d, ils sont a priori d’amplitudes respectives [−1, d+1], [−1, d], [−d−1, 0], [−1, d+1] (que Δ_{j}(A) soit acyclique en degrés > β + d si A l’est en degrés ≥ β se lit par exemple sur l’isomorphisme suivant : Δ_{j}(A) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}RHom_{ℤ_{p}}(C(j_{A}), ℤ_{p}), ℤ_{p}),

compte-tenu de la nullité de Ext_{ℤ_{p}}^{1}(lim_{⟶}Ext_{ℤ_{p}}^{1}(H^{d+1}(Γ_{n}, H^{β}(A_{∞})), ℤ_{p}), ℤ_{p}) dûe

à la p-divisibilité de H^{d+1}(Γ_{n}, −)).

Question 4.12 Que peut-on dire en général concernant la “taille” de Δ_{j}(A) et Δ_{k}(A) ? En particulier, lorsqu’on dispose d’un foncteur det, peut-on caractériser det(Δ_{j}) directement en termes de l’objet A?

Si Γ ≃ ℤ_{p}^{d} et A ∈ \underline{Γ}C est de la forme A = ℤ_{p}\underline{⊗}X_{∞}, c’est l’objet de la section suivante que de donner une condition suffisante pour avoir Δ_{j}(A) = 0 dans D^{b}(_{Λ}C/{pseudo − nuls}). Le cas où A est quelconque reste assez mystérieux, même pour Γ ≃ ℤ_{p}^{d}.

Lorsque Γ ≃ ℤ_{p}, C(j_{A}) et C(k_{A}) ont tendance à se stabiliser (en un sens adéquat, cf section 5.2) lorsque A provient de l’arithmétique (e.g. de la cohomologie d’une représentation p-adique) ; lorsque cela se produit, on parvient à une compréhension satisfaisante des quatre foncteurs de la remarque précédente.

5 Le cas commutatif : Γ ≃ ℤ_{p}^{d}

Dans ce paragraphe et dans toute la suite de l’article, on suppose que Γ ≃ ℤ_{p}^{d}, si bien que Λ est un anneau commutatif. On identifie donc _{Λ}C et C_{Λ}. L’anneau Λ est régulier de dimension d + 1 ([Ser65]) ; on note parfois Q son corps des fractions. On désigne les pseudo-isomorphismes par le symbole ≈, ou au besoin →^{≈}; rappelons que ≈ est une relation d’équivalence sur la classe des Λ-modules de torsion. Si M ∈ D^{b}(_{Λ}C) on utilisera les notations suivantes :

E^{q}(M) := Ext_{Λ}^{q}(M, Λ) H_{q}(Γ_{n}, M) := T or_{q}^{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}(ℤ_{p}, M)

Pour un Λ-module M, on note t_{Λ}M le sous-module de Λ-torsion, et f_{Λ}M := M/t_{Λ}M ; de même avec ℤ_{p} au lieu de Λ. On note aussi M[p^{k}] = T or_{1}^{ℤ_{p}}(M, ℤ/p^{k}) (resp. M/p^{k} = T or_{0}^{ℤ_{p}}(M, ℤ/p^{k})) le noyau (resp. conoyau) de la multiplication par p^{k}.

5.1 Δ_{k} et la structure des Λ-modules

Rassemblons en un lemme quelques propriétés des E^{q}. Pour une étude systématique de ces foncteurs, on renvoie à [Jan89].

Lemme 5.1 Soit M un Λ-module de type fini. Alors :

(i) E^{q}M est de torsion (resp. pseudo-nul) si q ≥ 1, (resp. q ≥ 2).

(ii) Si M est de torsion, le bord de la suite spectrale de bidualité induit un pseudo-isomorphisme canonique M →^{≈} E^{1}E^{1}M.

(iii) Si M est de torsion, alors E^{1}M ne possède aucun sous-module pseudo-nul.

(iv) Il existe un pseudo-isomorphisme (non canonique) t_{Λ}M ≈ E^{1}M. En particulier, si M est de torsion, on a les équivalences suivantes :

M ≈ 0 ⇔ E^{1}M ≈ 0 ⇔ E^{1}M = 0

Preuve (esquisse) : (i) se voit par localisation, puisque la dimension homologique globale d’un corps (resp. d’un anneau principal) vaut 0 (resp. 1).

(ii) Que le bord en question soit bien défini résulte de la nullité de E^{0}E^{0}M. Qu’il soit un pseudo-isomorphisme se vérifie en localisant.

(iii) et (iv) se déduisent facilement des deux faits suivants :

- Si M est de torsion, alors E^{0}M = 0 et E^{1}M ≃ Hom_{Λ}(M, F rac(Λ)/Λ).

- Si M est sans torsion, alors E^{1}M est pseudo-nul (localiser).

□

Lorsque M ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf} vérifie M⊗^{L}_{Λ}Q = 0 (ie. lorsque tous les modules de cohomologie de M sont de torsion), on définit l’idéal caractéristique de M par

χ(M) := ∏(CharH^{q}(M))^{(−1)^{q}}

où Char désigne l’idéal caractéristique au sens habituel de la théorie des modules d’Iwasawa.

Proposition 5.2 Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}. On suppose X_{∞} ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf} et X_{∞}^{∗} ∈ D^{b}(C_{Λ})_{tf}. Alors :

(i) Δ_{j}(A) ⊗_{Λ} Q = 0 ⇔ Δ_{k}(A) ⊗_{Λ} Q = 0.

(ii) Lorsque Δ_{j}(A) ⊗_{Λ} Q = 0, on a χ(Δ_{j}(A)) = χ(Δ_{k}(A)).

Preuve : d’après 4.6 (iv), on a Δ_{j}(A) = RHom_{Λ}(Δ_{k}(A), Λ)[1].

□

Dans ce paragraphe, on s’intéresse au cas où A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} est concentré en degré 0, ie. A ∈ \underline{Γ}C_{tf}, et vérifie la condition de codescente galoisienne, version non dérivée, ie. H^{−1}(C(k_{A})) = H^{0}(C(k_{A})) = 0. Dans cette situation, on souhaite décrire explicitement le complexe Δ_{k}(A).

Lemme 5.3 Soit M ∈ _{Λ}C_{tf}, et A := ℤ_{p}\underline{⊗}M ∈ \underline{Γ}C_{tf}, de sorte que X_{∞} ≃ M. On a alors :

1. X_{∞}^{∗} ∈ D^{b}(C_{Λ})_{tf}.

2. Δ_{k}(A) ⊗_{Λ} Q = 0, Δ_{k}(A) est acyclique en degrés négatifs, et vérifie :

(i) H^{1}(Δ_{k}(A)) = Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, X_{∞}), ℤ_{p}).

(ii) H^{q}(Δ_{k}(A)) = E^{q}(X_{∞}) pour q ≥ 2.

Preuve : 1. Le triangle distingué α_{k}(A) montre que X_{∞}^{∗} ∈ D^{b}(C_{Λ})_{tf} équivaut à Δ_{k}(A) ∈ D^{b}(C_{Λ})_{tf}, fait que le calcul de la cohomologie de Δ_{k}(A) mettra en évidence ci-dessous.

2. On souhaite calculer Δ_{k}(A) = RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}C(k_{A}), ℤ_{p})[1]. Examinons le triangle distingué k(A) :

ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}X_{∞} →^{k_{A}} A → C(k_{A}) → ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}X_{∞}[1]

Par hypothèse, A est concentré en degré 0 et H^{0}(k_{A}) est un isomorphisme.

On obtient donc C(k_{A})[−1] ≃ τ_{≤−1}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}X_{∞}, puis

Δ_{k}(A) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}τ_{≤−1}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}M, ℤ_{p})

Le résultat souhaité (y compris la noethérianité annoncée en 1.) est alors un cas particulier du lemme suivant, dont nous aurons à nouveau l’utilité un peu plus loin.

□

Lemme 5.4 Soit M ∈ D^{b}(_{Λ}C), et a ∈ ℤ. Alors :

(i) Ext_{ℤ_{p}}^{q}(lim_{⟶}τ_{≤a}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}M, ℤ_{p}) = 0 pour q ≤ −1 − a.

(ii) Ext_{ℤ_{p}}^{−a}(lim_{⟶}τ_{≤a}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}M, ℤ_{p}) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{−a}(Γ_{n}, M), ℤ_{p}).

(iii) Ext_{ℤ_{p}}^{q}(lim_{⟶}τ_{≤a}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}M, ℤ_{p}) = E^{q}(M) pour q ≥ 1 − a.

(iv) Il y a pour tout q ∈ ℤ une suite exacte naturelle

Ext_{ℤ_{p}}^{1}(lim_{⟶}H_{q−1}(Γ_{n}, M), ℤ_{p}) ↪ E^{q}(M) ↠ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{q}(Γ_{n}, M), ℤ_{p})

Preuve : D’après 3.3 (i), on a Ext_{ℤ_{p}}^{q}(lim_{⟶}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}X_{∞}, ℤ_{p}) ≃ E^{q}(X_{∞}). Par ailleurs, la suite spectrale d’hypercohomologie du foncteur RHom_{ℤ_{p}}(−, ℤ_{p}) :

D^{b}(_{Γ}C) → D^{b}(C_{Λ}), appliquée à la flèche lim_{⟶}τ_{≤a}ℤ_{p}⊗^{L}M → lim_{⟶}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}M produit un diagramme commutatif à lignes exactes :

Ext_{ℤ_{p}}^{1}(lim_{⟶}H^{1−q}(τ_{≤a}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}M), ℤ_{p}) ↪ Ext_{ℤ_{p}}^{q}(lim_{⟶}τ_{≤a}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}M, ℤ_{p}) ↠ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H^{−q}(τ_{≤a}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}M), ℤ_{p})
↑  ↑  ↑
Ext_{ℤ_{p}}^{1}(lim_{⟶}H_{q−1}(Γ_{n}, M), ℤ_{p}) ↪ Ext_{ℤ_{p}}^{q}(lim_{⟶}ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}M, ℤ_{p}) ↠  Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{q}(Γ_{n}, M), ℤ_{p})

Dans celui-ci, les flèches verticales extrèmes sont, selon les valeurs de q, soit nulles soit des isomorphismes. Le résultat suit.

□

En pratique, l’expression de H^{1}(Δ_{k}(A)) donnée par le lemme 5.3 est peu maniable. On cherche dans ce qui suit à contrôler sa taille.

Définition 5.5 Soit M ∈ _{Λ}C_{tf} un module de torsion. On munit M de deux filtrations décroissantes fonctorielles :

- I^{1}M = lim_{⟵}t_{ℤ_{p}}(M_{Γ_{n}}), et I^{q+1}M = I^{1}(I^{q}(M)) pour q ≥ 1.

- F^{1}M est le noyau de l’application composée

M → E^{1}E^{1}M → Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, E^{1}M), ℤ_{p})

où la première flèche est celle de 5.1 (ii), et la seconde est la flèche de droite dans la suite exacte 5.4 (iv), appliquée au module E^{1}M. Puis F^{q+1}M = F^{1}F^{q}M pour q ≥ 1.

Remarque 5.6 La flèche composée qui définit F^{1}M est pseudo-surjective, si bien que M/F^{1}M ↪ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, E^{1}M), ℤ_{p}) avec conoyau pseudo-nul.

Proposition 5.7 Soit M ∈ _{Λ}C_{tf} un module de torsion, alors I^{q}M ⊂ F^{q}M.

Preuve : On peut toujours supposer q = 1. Il s’agit alors de montrer que l’image de lim_{⟵}t_{ℤ_{p}}(M_{Γ_{n}}) par l’application M → Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, E^{1}M), ℤ_{p}) est nulle. C’est évident si l’on écrit cette dernière comme la limite projective des applications M_{Γ_{n}} → Hom_{ℤ_{p}}(H_{1}(Γ_{n}, E^{1}M), ℤ_{p}).

□

Question 5.8 Est-il vrai que I^{q}M = F^{q}M ?

Cette question possède une réponse affirmative si d = 1, ie. si Γ ≃ ℤ_{p}. En effet, on montre alors facilement que M/I^{1}M et M/F^{1}M sont tous deux ℤ_{p}-libres de même rang, et le résultat suit.

Lemme 5.9 Soient M, M′ ∈ _{Λ}C_{tf} de torsion. S’il y a un pseudo-isomorphisme M →^{≈} M′, celui-ci induit des pseudo-isomorphismes :

(i) I^{q}M →^{≈} I^{q}M′ et F^{q}M →^{≈} F^{q}M′.

(ii) Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, M′), ℤ_{p}) →^{≈} Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, M), ℤ_{p}).

Preuve : (i) Soit J = I ou F. Tout revient à montrer que la flèche M/J^{1}M → M′/J^{1}M′ est un pseudo-isomorphisme. Or

- son conoyau est pseudo-nul, par hypothèse.

- il existe un pseudo-isomorphisme M ←^{≈} M′, lequel implique à son tour une pseudo-surjection M/J^{1}M ← M′/J^{1}M′. En particulier Char(M/J^{1}M) divise Char(M′/J^{1}M′).

- son noyau est donc nécessairement pseudo-nul lui aussi.

(ii) M →^{≈} M′ induit E^{1}M′ →^{≈} E^{1}M. Comme Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, M), ℤ_{p})

s’identifie à un quotient de E^{1}M, on peut raisonner comme en (i).

□

Corollaire 5.10 Soit M ∈ _{Λ}C_{tf} un module de torsion. Alors il existe une pseudo-surjection non canonique

lim_{⟵}f_{ℤ_{p}}(M_{Γ_{n}}) → Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, M), ℤ_{p})

Preuve : Par 5.7, on sait déjà que lim_{⟵}f_{ℤ_{p}}(M_{Γ_{n}}) = M/I^{1}M ↠ M/F^{1}M. Mais par 5.6 :

M/F^{1}M ≈ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, E^{1}M), ℤ_{p})

Par 5.1, on peut trouver un pseudo-isomorphisme non canonique M ≈ E^{1}M, et celui-ci induit à son tour 5.9 :

Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, E^{1}M), ℤ_{p}) ≈ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, M), ℤ_{p})

ce qui termine la preuve.

□

5.2 Stabilisation (cas Γ ≃ ℤ_{p})

Nous étudions le phénomène de stabilisation pour le défaut de (co)- descente. Celui-ci semble particulier au cas Γ ≃ ℤ_{p}, où les complexes C(j_{A}) et C(k_{A}) sont particulièrement courts. Lorsqu’elle a lieu, la stabilisation rend particulièrement agréable la description du rapport entre descente et codescente. On suppose Γ ≃ ℤ_{p} dans tout 5.2.

Définition 5.11 (i) On dit d’un système inductif (resp. projectif) (A_{n}) qu’il se stabilise s’il existe un rang n_{0} tel que les les flèches de transition A_{n} → A_{m} (resp. A_{m} → A_{n}) soient des isomorphismes pour m ≥ n ≥ n_{0}.

(ii) On dit d’un système normique A ∈ \underline{Γ}C qu’il se stabilise via la restriction (resp. corestriction) si le système inductif (resp. projectif) sous-jacent se stabilise.

(iii) On dit d’un objet A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C) qu’il se stabilise (via la restriction ou la corestriction) s’il en est ainsi pour ses objets de cohomologie.

Commençons par quelques faits généraux.

Lemme 5.12 Soit A → B → C → A[1] un triangle distingué de D^{b}(\underline{Γ}C). Si deux des trois sommets se stabilisent via la restriction ou la corestriction, il en est de même du troisième.

Preuve : On applique le lemme des cinq.

□

Lemme 5.13 Soient A, B, C des systèmes inductifs de ℤ_{p}-modules.

(i) On suppose que les B_{n} sont de type fini et qu’il y a une suite exacte courte 0 → A → B → C → 0. Alors B se stabilise si et seulement si A et C se stabilisent.

(ii) On suppose que les A_{n} et les C_{n} sont de type fini, et qu’il y a une suite exacte courte A → B → C. Si A et C se stabilisent, alors B aussi.

Preuve : (i) Si A et C se stabilisent alors B aussi, clairement. Si B se stabilise, alors A_{m} ↪ A_{n} pour n ≥ m >> 0. Mais alors lim_{⟶}A_{n} est une union croissante à l’intérieur du ℤ_{p}-module noethérien lim_{⟶}B_{n}, donc se stabilise. On en déduit que C_{n} se stabilise aussi, par le lemme du serpent.

(ii) découle immédiatement de (i).

□

5.2.1 Critères de stabilisation

Pour A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C), on cherche à établir des critères pour :

- la stabilisation éventuelle de C(j_{A}) via la corestriction.

- la stabilisation éventuelle de C(k_{A}) via la restriction. Dans la pratique, ces deux problèmes sont équivalents. En effet :

Proposition 5.14 Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, alors

(i) Si C(k_{A}) se stabilise via la restriction, alors C(j_{A}) se stabilise via la corestriction.

(ii) Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, vérifiant X_{∞}^{∗} ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf}. Si C(j_{A}) se stabilise via la corestriction, alors C(k_{A}) se stabilise via la restriction.

La preuve repose sur le lemme suivant :

Lemme 5.15 Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C), alors

(i) Si A stabilise via la restriction, alors C(j_{A}) se stabilise via la corestriction.

(ii) On suppose A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}. Si A stabilise via la corestriction, alors C(k_{A}) stabilise via la restriction.

Preuve de 5.15 : (i) Considérant le triangle distingué tautologique A →

A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p} → A⊗^{L}ℚ_{p}/ℤ_{p} → A[1], on se ramène tout de suite au cas où A est de torsion. Par troncature et récurrence sur la longueur de A, on peut supposer que A est concentré en degré 0, et quitte à remplacer Γ par un sous-groupe ouvert, que tous les j_{n,m} sont des isomorphismes. Mais alors C(j_{A}) se réduit à la collection (H^{1}(Γ_{n}, A_{∞})) (munie de sa structure naturelle de système normique, via res et cor) placée en degré 1. L’action de Γ sur A_{∞} étant triviale, on voit tout de suite que cor : H^{1}(Γ_{m}, A_{∞}) → H^{1}(Γ_{n}, A_{∞}) est un isomorphisme pour tout m ≥ n, et cela termine la preuve.

(ii) A l’aide de 4.5 appliqué à A^{∗}, on construit facilement un isomorphisme RHom_{ℤ_{p}}(C(j_{A^{∗}}), ℤ_{p}) ≃ C(k_{Bid_{ℤp}(A)}) ; comme A ≃ Bid_{ℤ_{p}}(A), le résultat souhaité se déduit de (i).

□

Preuve de 5.14 : (i) Comme C(j_{A}) = C(j_{C(k_{A})}) (cf 4.6 (i)), il suffit d’appliquer 5.15 (i) à l’objet C(k_{A}) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C).

(ii) Puisque C(j_{A}) se stabilise via la corestriction, alors Bid_{ℤ_{p}}C(j_{A}) aussi. Comme C(k_{A}) ≃ C(k_{Bid_{ℤp}C(j_{A})})[−1] (4.6 (i)), il suffit d’appliquer 5.15 (ii) à l’objet Bid_{ℤ_{p}}C(j_{A}) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C).

□

Remarque 5.16 Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}.

(i) Comme lim_{⟶}C(j_{A}) = 0, la stabilisation de C(j_{A}) via la restriction ne présente aucun intérêt. Aussi, on dira désormais simplement “C(j_{A}) se stabilise” au lieu de “C(j_{A}) se stabilise via la corestriction”. Pour des raisons similaires, on dira “C(k_{A}) se stabilise” au lieu de “C(k_{A}) se stabilise via la restriction”.

(ii) Il ne faut pas croire que la stabilisation de C(j_{A}) ou C(k_{A}) se produise systématiquement. Pour s’en convaincre, observer le cas d’un système normique dont la limite inductive et la limite projective soient toutes deux triviales.

Au vu de 5.14, on s’intéresse désormais uniquement à la stabilisation de C(k_{A}). La proposition suivante est très utile :

Proposition 5.17

1. Soit A → B → C → A[1] un triangle distingué de D^{b}(\underline{Γ}C). Si C(k_{A}) et C(k_{B}) se stabilisent, alors il en est de même de C(k_{C}).

2. Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} tel que X_{∞} ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf}. Sont alors équivalents : (i) C(k_{A}) se stabilise. (ii) C(k_{H^{q}(A)}) se stabilise pour tout q.

Pour la preuve, on utilisera le lemme suivant :

Lemme 5.18 Soit A ∈ \underline{Γ}C_{tf}. Si X_{∞} ∈ _{Λ}C_{tf}, alors H^{−2}(C(k_{A})) se stabilise automatiquement.

Preuve : Le système inductif sous-jacent à (H^{−2}(C(k_{A}))) ∈ \underline{Γ}C, s’identifie à la réunion croissante des H_{1}(Γ_{n}, X_{∞}) ≃ X_{∞}^{Γ_{n}}, et celle-ci se stabilise par noethérianité.

□

Preuve de 5.17 : 1. On applique 5.12 au triangle distingué

C(k_{A}) → C(k_{B}) → C(k_{C}) → C(k_{A})[1]

déduit de celui de l’énoncé par application du foncteur C(k_{(−)}).

2. Par troncature et récurrence sur la longueur de A, l’implication (ii) ⇒ (i) découle du point 1.

Passons à l’implication (i) ⇒ (ii). Soit q_{0} tel que H^{q}(A) = 0 pour q > q_{0} et considérons le triangle distingué

C(k_{τ_{≤q_{0}−1}A}) → C(k_{A}) → C(k_{H^{q_{0}}(A)}) → C(k_{τ_{≤q_{0}−1}A})[1]

déduit du triangle distingué tautologique par application du foncteur C(k_{(−)}). Par récurrence sur la longueur de A, il nous suffit de montrer que si C(k_{A}) se stabilise, alors il en est de même de C(k_{τ_{≤q_{0}−1}A}) et C(k_{H^{q_{0}}(A)}). On peut toujours supposer q_{0} = 0. Soit donc A tel que H^{q}(A) = 0 pour q > 0, tel que C(k_{A}) se stabilise. D’après la remarque 4.11, H^{q}(C(k_{τ_{≤−1}A})) = 0 (resp. H^{q}(C(k_{A})) = 0, H^{q}(C(k_{H^{0}(A)})) = 0) si q > −1 (resp. q > 0, q ≠ −2, −1, 0). En prenant le cohomologie du triangle distingué ci-dessus, on obtient donc :

- H^{0}(C(k_{H^{0}(A)})) = H^{0}(C(k_{A})), se stabilise par hypothèse.

- Pour q < −2 H^{q}(C(k_{τ_{≤q_{0}−1}A})) = H^{q}(C(k_{A})), se stabilise par hypothèse.

- Une suite exacte

H^{−2}(C(k_{τ_{≤q_{0}−1}A})) ↪ H^{−2}(C(k_{A})) → H^{−2}(C(k_{H^{0}(A)}))

→ H^{−1}(C(k_{τ_{≤q_{0}−1}A})) → H^{−1}(C(k_{A})) ↠ H^{−1}(C(k_{H^{0}(A)}))

dans laquelle le second et le cinquième terme se stabilisent par hypothèse, ainsi que troisième en vertu de 5.18. Par 5.13, on conclut à la stabilisation des 6 termes de la suite exacte, et cela termine la preuve.

□

Pour appliquer 5.17 2., on a parfois recours au lemme suivant :

Lemme 5.19 Soit q_{0} ∈ ℕ, et Z_{1} ↪ Z_{2} → … → Z_{q} → … ↠ Z_{q_{0}} une suite exacte à q_{0} termes dans une catégorie abélienne A. Alors il existe un triangle distingué (non unique) de D^{b}(A) dont la suite exacte longue de cohomologie s’identifie à la précédente.

Preuve (indication) : Par récurrence sur q_{0}.

□

Corollaire 5.20 Soit q_{0} ∈ ℕ, et A^{1} ↪ A^{2} → … → A^{q} → … ↠ A^{q_{0}} une suite exacte à q_{0} termes dans \underline{Γ}C_{tf}. On suppose que chaque Λ-module lim_{⟵}_{n}A_{n}^{q}

est de type fini. Soit i ∈ {1, 2, 3}, si C(k_{A^{q}}) se stabilise pour q non congru à i modulo 3, alors C(k_{A^{q}}) se stabilise aussi pour q congru à i modulo 3.

Preuve : On applique 5.17 2., 1., puis 2. à un triangle distingué fourni par le lemme précédent. Il est naturellement possible d’établir ce corollaire directement, en procédant par découpage (il faut alors considérer q_{0} − 3 suites exactes à 9 termes, et appliquer systématiquement 4.11, 5.18 et 5.13).

□

Proposition 5.21 Soit A ↪ B ↠ C une suite exacte courte dans \underline{Γ}C_{tf}. On suppose que lim_{⟵}B_{n} est de type fini sur Λ, et que C(k_{B}) se stabilise. Sont alors équivalents :

(i) H^{0}C(k_{A}) se stabilise.

(ii) H^{−1}C(k_{C}) se stabilise.

(iii) C(k_{A}) et C(k_{C}) se stabilise.

Preuve de 5.21 : Comme (iii) ⇒((i) et (ii)), il suffit de montrer que ((i) ou (ii)) ⇒ (iii). On note d’abord que (iii) équivaut à la stabilisation de H^{0}(C(k_{C})) et H^{−1}(C(k_{C})) (5.18 et 5.17 1.).

Ensuite, on observe la suite exacte suivante de systèmes inductifs de ℤ_{p}- modules de types finis (NB : lim_{⟵}A_{n}, lim_{⟵}B_{n} et lim_{⟵}C_{n} sont de Λ-type fini) :

H^{−1}(C(k_{B})) → H^{−1}(C(k_{C})) → H^{0}(C(k_{A})) → H^{0}(C(k_{B})) → H^{0}(C(k_{C})) → 0

Par hypothèse, le premier et le quatrième terme se stabilisent. Si de plus le second ou le troisième se stabilisent aussi, alors il en est de même des 2 termes restants par 5.13.

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5.2.2 Conséquences de la stabilisation

Signalons qu’on fait dans ce paragraphe un usage systématique de la dualité de Poincaré ; les isomorphismes en jeu sont donc fonctoriels, mais dépendent de l’isomorphisme Γ ≃ ℤ_{p} choisi.

Proposition 5.22 Soit A ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} tel que X_{∞} ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf}.

Si C(k_{A}) se stabilise, alors :

1. (i) X_{∞}^{∗} ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf} et RHom_{ℤ_{p}}(C(j_{A}), ℤ_{p}) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}.

(ii) C(j_{A}) se stabilise aussi.

2. Les modules de cohomologie de Δ_{j}(A) et Δ_{k}(A) sont fixés par Γ_{n} pour n suffisamment grand (et sont donc de torsion sur Λ). De plus il y a des isomorphismes fonctoriels :

(i) Δ_{k}(A) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(Δ_{j}(A), ℤ_{p}) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(Rlim_{⟵}C(j_{A}), ℤ_{p}).

(ii) Δ_{j}(A) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(Δ_{k}(A), ℤ_{p}) ≃ lim_{⟶}C(k_{A})[−1].

(iii) Il existe dans D^{b}(_{Λ}C) un triangle distingué fonctoriel :

Rlim_{⟵}C(j_{A}) → lim_{⟶}C(k_{A})[−1] → RHom_{ℤ_{p}}(ℚ_{p}, Rlim_{⟵}C(j_{A}))[1] → Rlim_{⟵}C(j_{A})[1]

En particulier, Rlim_{⟵}C(j_{A}) ≃ lim_{⟶}C(k_{A})⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}[−2].

3. Si de plus les ℤ_{p}-modules H^{q}(A_{n}) sont tous de torsion (et donc finis), alors (i) les Λ-modules de cohomologie de X_{∞} et X_{∞}^{∗} sont de torsion. (ii) χ(Δ_{j}(A)) = χ(Δ_{k}(A)) = Λ.

Preuve : 1. (i) Comme A et ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}X_{∞} sont dans D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf}, on voit que C(k_{A}) et RHom_{ℤ_{p}}(C(k_{A}), ℤ_{p}) le sont aussi. Mais alors l’hypothèse de stabilisation montre que les modules de cohomologie sont de type fini sur ℤ_{p}, et donc sur Λ. La première assertion provient alors de 4.9, et la seconde de 4.4 (ii).

(ii) résulte de 5.14 (i).

2. Que la cohomologie de Δ_{j}(A) = Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(C(j_{A})) et celle de Δ_{k}(A) = RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}C(k_{A}), ℤ_{p})[1] soit fixée par Γ_{n} pour n >> 0 est une conséquence immédiate de la stabilisation des limites en jeu.

(i) D’après 4.6 (iv) et 3.4 (iii), on a

Δ_{j}(A) ≃ RHom_{Λ}(Δ_{k}(A), Λ)[1] ≃ RHom_{ℤ_{p}}(Δ_{k}(A), ℤ_{p})

d’où le premier isomorphisme de l’énoncé. Pour obtenir le second, on observe que la flèche de bidualité C(j_{A}) → Bid_{ℤ_{p}}(C(j_{A})) induit dans D^{b}(_{Λ}C) un carré commutatif :

RHom_{ℤ_{p}}(Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(C(j_{A})), ℤ_{p}) ⟶ RHom_{ℤ_{p}}(Rlim_{⟵}C(j_{A}), ℤ_{p})
↑  ↑
RHom_{ℤ_{p}}(Bid_{ℤ_{p}}π_{n}(C(j_{A})), ℤ_{p}) ⟶ RHom_{ℤ_{p}}(π_{n}C(j_{A}), ℤ_{p})

dans lequel la flèche inférieure est un isomorphisme puisque la cohomologie de RHom_{ℤ_{p}}(π_{n}C(j_{A}), ℤ_{p}) est de ℤ_{p}-type fini. Ici, π_{n} est le foncteur de projection de la remarque 2.5, et on regarde π_{n}C(j_{A}) comme un objet de D^{b}(_{Λ}C), par abus de notation. Par stabilisation, les deux flèches verticales sont des isomorphismes pour n suffisamment grand ; d’où le second isomorphisme de l’énoncé.

(ii) est similaire, mais plus facile.

(iii) En combinant (i) et (ii), on obtient un isomorphisme

Bid_{ℤ_{p}}(Rlim_{⟵}C(j_{A})) ≃ lim_{⟶}C(k_{A})[−1]

Maintenant, l’analogue dans D^{b}(_{Λ}C) de 2.12 (ii) montre que Bid_{ℤ_{p}}(Rlim_{⟵}C(j_{A})) s’identifie à RHom_{ℤ_{p}}(ℚ_{p}/ℤ_{p}, Rlim_{⟵}C(j_{A}))[1] ; le triangle distingué recherché provient donc du triangle distingué tautologique ℤ_{p} → ℚ_{p} → ℚ_{p}/ℤ_{p} → ℤ_{p}[1].

L’isomorphisme de l’énoncé suit, puisque RHom_{ℤ_{p}}(ℚ_{p}, Rlim_{⟵}C(j_{A}))⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}

= 0 et Rlim_{⟵}C(j_{A}) ≃ Rlim_{⟵}C(j_{A})⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}[−1].

3. Quitte à s’y ramener par troncature et récurrence sur la longueur de A, on peut toujours supposer que A est concentré en degré 0. Dans ce cas :

(i) X_{∞} (resp. X_{∞}^{∗}) est concentré en degré 0 (resp. 1), et la cohomologie du triangle distingué α_{k}(A) donne une suite exacte :

0 → E^{0}(X_{∞}) → H^{0}(Δ_{k}(A)) → H^{1}(X_{∞}^{∗}) → E^{1}(X_{∞})

sur laquelle il apparaît que :

- E^{0}(X_{∞}) est de torsion, puisque H^{0}(Δ_{k}(A)) l’est (cf 2.). D’où en fait E^{0}(X_{∞}) = 0, si bien que X_{∞} est de Λ-torsion.

- H^{1}(X_{∞}^{∗}) est de Λ-torsion puisque H^{0}(Δ_{k}(A)) et E^{1}(X_{∞}) le sont (cf 5.1 (i)).

(ii) Il suffit de calculer χ(Δ_{k}(A)) (cf. 5.2) Regardant π_{n}C(k_{A}) comme un objet de D^{b}(_{Λ}C), on a pour n suffisamment grand un isomorphisme dans D^{b}(C_{Λ}) : Δ_{k}(A) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(π_{n}C(k_{A}), ℤ_{p}). Observons alors le triangle distingué π_{n}(C(k_{A})) ∈ T r(D^{b}(_{Λ}C)) :

ℤ_{p}⊗^{L}_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}X_{∞} → A_{n} → π_{n}C(k_{A}) → ℤ_{p}⊗^{L}_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}X_{∞}[1]

Comme A_{n} est fini, on voit que χ(π_{n}C(k_{A})) = χ(ℤ_{p}⊗^{L}_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}X_{∞}). Ce dernier idéal caractéristique est trivial puisque X_{∞} est de Λ-torsion. Finalement, χ(Δ_{k}(A)) = Λ.

□

En vue des applications on se propose d’expliciter la proposition précédente. Rappelons que si M est un ℤ_{p}-module, Ext_{ℤ_{p}}^{1}(M, ℤ_{p}) s’identifie naturellement au dual de Pontryagin du sous-module de ℤ_{p}-torsion de M. Avec les conventions expliquées dans la section 2.1, ce dernier est muni de l’action de Λ (à droite) par transport de structure ((f.λ)(m) = f(λm)), lorsque M est un Λ-module (à gauche).

Proposition 5.23 Soit A = (A_{n}) un système normique dans lequel les A_{n} sont de type fini sur ℤ_{p}. Comme toujours, on note X_{∞} = lim_{⟵}A_{n}, A_{∞} = lim_{⟶}A_{n} et X_{∞}^{∗} = RHom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p}). Pour plus de clarté, notons

j_{n} : A_{n} → (A_{∞})^{Γ_{n}} (resp. k_{n} : (X_{∞})_{Γ_{n}} → A_{n})

l’application de descente (resp. codescente). De sorte que les systèmes normiques formés par la cohomologie de C(j_{A}) et C(k_{A}) valent respectivement :

- Pour C(j_{A}) : H^{−1} = (Ker j_{n}), H^{0} = (Coker j_{n}), H^{1} = (H^{1}(Γ_{n}, A_{∞})), H^{2} = (H^{2}(Γ_{n}, A_{∞})) et H^{q} = 0 si q ≠ −1, 0, 1, 2.

- Pour C(k_{A}) : H^{−2} = (H_{1}(Γ_{n}, X_{∞})), H^{−1} = (Ker k_{n}), H^{0} = (Coker k_{n}) et H^{q} = 0 si q ≠ −2, −1, 0.

On suppose que Ker k_{n} et Coker k_{n} sont de type fini sur ℤ_{p}, et se stabilisent. Alors :

1. X_{∞} est de type fini sur Λ, et H^{q}(C(j_{A})) se stabilise aussi, ∀q.

2. (i) ∀q, on a H^{q}(Δ_{j}(A)) ≃ lim_{⟶}H^{q−1}(C(k_{A})) et il y a une suite exacte courte

lim_{⟵}_{n,k}H^{q}(C(j_{A}))/p^{k} ↪ H^{q}(Δ_{j}(A)) ↠ lim_{⟵}_{n,k}H^{q+1}(C(j_{A}))[p^{k}]

où (−)[p^{k}] (resp. (−)/p^{k}) désigne le plus grand sous-module (resp. quotient) tué par p^{k}.

(ii) ∀q, on a H^{q}(Δ_{k}(A)) ≃ Ext_{ℤ_{p}}^{1}(lim_{⟵}H^{1−q}(C(j_{A})), ℤ_{p}) et il y a une suite exacte courte

Ext_{ℤ_{p}}^{1}(lim_{⟶}H^{−q}(C(k_{A})), ℤ_{p}) ↪ H^{q}(Δ_{k}(A)) → Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H^{−1−q}(C(k_{A})), ℤ_{p})

(iii) Pour tout q, H^{q}(Δ_{j}(A))) ≈ E^{1}H^{−q}(Δ_{k}(A))). De plus les Λ-modules de cohomologie de Δ_{j}(A) sont tous pseudo-isomorphes à un quotient convenable de ℤ_{p}[G_{n}]^{a}, pour n et a suffisamment grand.

(iv) Si les A_{n} sont finis, alors ∏_{q} Char(H^{q}(Δ_{k}(A)))^{(−1)^{q}} = Λ.

3. Les Λ-modules H^{0}(X_{∞}^{∗}) = Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p}) et H^{1}(X_{∞}^{∗}) = Ext_{ℤ_{p}}^{1}(A_{∞}, ℤ_{p}) sont de type fini et le second est de torsion. Il sont de plus sujets à des isomorphismes et des suites exactes :

(i) E^{q+1}(H^{1}(X_{∞}^{∗})) ↪ E^{q}(X_{∞}^{∗}) ↠ E^{q}(H^{0}(X_{∞}^{∗})).

(ii) H^{−1}(Δ_{j}(A)) ↪ X_{∞} → E^{0}(X_{∞}^{∗}) ↠ H^{0}(Δ_{j}(A)). et E^{1}(X_{∞}^{∗}) ≃ H^{1}(Δ_{j}(A)).

(iii) H^{−1}(Δ_{k}(A)) ↪ H^{0}(X_{∞}^{∗}) → E^{0}(X_{∞}) → H^{0}(Δ_{k}(A)) →

→ H^{1}(X_{∞}^{∗}) → E^{1}(X_{∞}) ↠ H^{1}(Δ_{k}(A))

et E^{2}(X_{∞}) ≃ H^{2}(Δ_{k}(A)).

Preuve : Expliquons seulement les points qui ne découlent pas immédiatement de 5.22.

2. (i) Pour obtenir la suite exacte, il faut expliciter l’isomorphisme Δ_{j}(A) ≃ Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(C(j_{A})). On procède en deux étapes : d’abord 2.12 (ii) donne une suite spectrale à valeurs dans \underline{Γ}C_{tf} :

E_{2}^{p,q} = lim_{⟵}_{k}T or_{−p}^{ℤ_{p}}(H^{q}(C(j_{A})), ℤ/p^{k}) ⇒ H^{p+q}(Bid_{ℤ_{p}}(C(j_{A}))) = E^{p+q}

Celle-ci dégénère en des suites exactes courtes, dont celles de l’énoncé se déduisent par passage à la limite projective.

(ii) La stabilisation de C(j_{A}) assure que les objets de cohomologie de Rlim_{⟵}C(j_{A}) sont de ℤ_{p}-torsion, et 5.22 2. (i) donne l’isomorphisme annoncé.

(iii) Comme les Λ-modules de cohomologie de Δ_{j}(A) sont de type fini et de torsion, le bord de la suite spectrale d’hypercohomologie (cf 4.6 (iv))

E_{2}^{p,q} = E^{p+1}H^{−q}(Δ_{k}(A)) ⇒ H^{p+q}(Δ_{j}(A)) = E^{p+q}

réalise pour tout q un pseudo-isomorphisme

H^{q}(Δ_{j}(A)) →^{≈} E^{1}H^{−q}(Δ_{k}(A))

Le reste se déduit du fait que H^{q}(Δ_{j}(A)) est fixé par Γ_{n} pour n suffisamment grand.

3. Que H^{1}(X_{∞}^{∗}) soit de Λ-torsion se lit sur la suite exacte (iii), comptetenu de 2. (iii) et 5.1 (i).

(ii) La suite exacte de l’énoncé, obtenue en prenant la cohomologie du triangle distingué α_{j}(A), commence a priori par

0 → E^{−1}(X_{∞}^{∗}) → H^{−1}(Δ_{j}(A)) → H^{0}(X_{∞}) → …

Maintenant E^{−1}(X_{∞}^{∗}) = E^{0}(H^{1}(X_{∞}^{∗})) est trivial puisque H^{1}(X_{∞}^{∗}) est de Λ-torsion.

□

Corollaire 5.24 Soit A = (A_{n}) ∈ \underline{Γ}C_{tf}. Si tous les A_{n} sont de ℤ_{p}-torsion, et que C(k_{A}) se stabilise, alors :

(i) les Λ-modules X_{∞} = lim_{⟵}A_{n} et H^{1}(X_{∞}^{∗}) = Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}A_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) sont noethériens de torsion.

(ii) Non canoniquement, les quatre modules suivants sont pseudo-iso-morphes : H^{−1}(Δ_{j}(A)), H^{0}(Δ_{j}(A)), H^{0}(Δ_{k}(A)) et H^{1}(Δ_{k}(A)).

Preuve : (i) Comme les A_{n} sont de ℤ_{p}-torsion, c’est que X_{∞}^{∗} est concentré en degré 1. Maintenant, H^{1}(X_{∞}^{∗}) est de Λ-torsion (5.23 3.) et les modules de cohomologie de Δ_{j}(A) aussi (2. (iii)) ; il en est donc de même de X_{∞}.

(ii) D’après 5.23 2. (iii), il suffit de vérifier que l’on a χ(H^{1}(Δ_{k}(A))) = χ(H^{0}(Δ_{k}(A))). Mais cela découle de 5.23 2. (iv), puisque d’après 5.23 3. (iii) H^{−1}(Δ_{k}(A)) ⊂ H^{0}(X_{∞}^{∗}) = 0, H^{2}(Δ_{k}(A)) ≃ E^{2}(X_{∞}) ≈ 0 (5.1 (i)).

□

Mentionnons encore un corollaire de la description 5.22 2.

Corollaire 5.25 Soit A ∈ \underline{Γ}C_{tf} et supposons, comme en 5.22, que les systèmes inductifs Ker k_{n} et Coker k_{n} se stabilisent. Notons

ϕ : Rlim_{⟵}C(j_{A}) → lim_{⟶}C(k_{A})[−1]

le morphisme fonctoriel figurant dans le triangle 5.22 2. (iii). Alors :

1. (i) Ker H^{q}(ϕ) est p-divisible.

(ii) Coker H^{q}(ϕ) est ℤ_{p}-libre.

2. Considérons un triangle distingué A → A′ → A′′ → A[1], où A′ et A′′ vérifient les mêmes hypothèses que A. Dans ces conditions, pour q ∈ ℤ fixé :

(i) ϕ induit un isomorphisme de suites exactes courtes

lim_{⟵}_{n,k}H^{q}(C(j_{A}))/p^{k} ⟶ lim_{⟵}_{n,k}H^{q}(C(j_{A′}))/p^{k} ⟶ lim_{⟵}_{n,k}H^{q}(C(j_{A′′}))/p^{k}
≀ ↓  ≀ ↓  ≀ ↓
t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}H^{q−1}(C(k_{A})) ⟶ t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}H^{q−1}(C(k_{A′})) ⟶ t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}H^{q−1}(C(k_{A′′}))

(ii) Si lim_{⟵}H^{q}(C(j_{A′′})) est fini, alors le diagramme ci-dessus se prolonge en un isomorphisme de suites exactes longues :

- à gauche à l’aide de l’isomorphisme Δ_{j}(−) ≃ lim_{⟶}C(k_{(−)})[1] :

… ⟶ H^{q−1}(Δ_{j}(A′)) ⟶ H^{q−1}(Δ_{j}(A′′)) ⟶ lim_{⟵}_{n,k}H^{q}(C(j_{A}))/p^{k} ⟶
≀ ↓  ≀ ↓  ≀ ↓
… ⟶ lim_{⟶}H^{q−2}(C(k_{A′})) ⟶ lim_{⟶}H^{q−2}(C(k_{A′′})) ⟶ t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}H^{q−1}(C(k_{A})) ⟶

- à droite à l’aide de Rlim_{⟵}C(j_{(−)}) ≃ lim_{⟶}C(k_{(−)})⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}[−2] :

lim_{⟵}_{n,k}H^{q}(C(j_{A′′}))/p^{k} ⟶  lim_{⟵}H^{q+1}C(j_{A})  ⟶  lim_{⟵}H^{q+1}C(j_{A′})  ⟶ …
≀ ↓  ≀ ↓  ≀ ↓
t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}H^{q−1}(C(k_{A′′})) ⟶ T or_{q−1}^{ℤ_{p}}(lim_{⟶}C(k_{A}), ℚ_{p}/ℤ_{p}) ⟶ T or_{q−1}^{ℤ_{p}}(lim_{⟶}C(k_{A′}), ℚ_{p}/ℤ_{p}) ⟶ …

Preuve : 1. est clair, puisque les modules de cohomologie du cône de ϕ sont uniquement p-divisibles.

2. (i) Comme H^{q}(C(j_{A})) est de ℤ_{p}-torsion et que H^{q}(C(k_{A})) est de type fini, on peut préciser 1. : Ker H^{q}(ϕ) est le sous groupe p-divisible maximal de H^{q}(Rlim_{⟵}C(j_{A})) (ie. le noyau de lim_{⟵}H^{q}(C(j_{A})) → lim_{⟵}_{n,k}H^{q}(C(j_{A}))/p^{k})

et Im ϕ = t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}H^{q−1}(C(k_{A})). D’où l’isomorphisme de suites exactes de l’énoncé.

(ii) - Au vu de 5.23 2. (i), 5.22 2. (ii) et de la définition de ϕ, le diagramme commutatif suivant se produit en toute généralité :

… ⟶ H^{q−1}(Δ_{j}(A′′)) ⟶ H^{q}(Δ_{j}(A))  ⟵^{⊃} lim_{⟵}_{n,k}H^{q}(C(j_{A}))/p^{k} ⟶
≀ ↓  ≀ ↓  ≀ ↓
… ⟶ lim_{⟶}H^{q−2}(C(k_{A′′})) ⟶ lim_{⟶}H^{q−1}(C(k_{A})) ⟵^{⊃} t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}H^{q−1}(C(k_{A′})) ⟶

Puisque par hypothèse H^{q−1}(Δ_{j}(A′′)) est fini (5.23 2. (i)), l’image des flèches de gauche est incluse dans celle des flèches de droite. Le diagramme de l’énoncé est donc bien défini et ses lignes sont automatiquement exactes.

- De manière analogue, on peut prolonger le diagramme à droite comme indiqué dans l’énoncé, à condition que lim_{⟵}H^{q}(C(j_{A′′})) → lim_{⟵}H^{q+1}(C(j_{A})) se

factorise par le quotient fini maximal lim_{⟵}_{n,k}H^{q}(C(j_{A}))/p^{k}. C’est ici le cas,

puisque par hypothèse, lim_{⟵}H^{q}(C(j_{A′′})) est lui-même fini.

□

6 Applications

6.1 Cohomologie galoisienne continue

6.1.1 Généralités

Soit G un groupe profini, muni d’une surjection fixée G ↠ Γ. Pour chaque sous-groupe ouvert Γ_{n} de Γ, notons H_{n} l’image réciproque de Γ_{n} dans G, et H_{∞} = ∩H_{n}. Ainsi, G_{n} = Γ/Γ_{n} = G/H_{n}, et Γ = G/H_{∞}. On note _{G}C la catégorie des ℤ_{p}-modules munis d’une action discrète de G, et Rep_{ℤ_{p}}(G) la catégorie des ℤ_{p}-représentations continues de G dont le ℤ_{p}-module sousjacent est ℤ_{p}-libre de rang fini. La définition [Jan88] pour la cohomologie continue se prête à la variante suivante :

Définition 6.1 Soit ∗ = b si cd_{p}G < ∞, et ∗ = + sinon.

(i) Soit \underline{Γ}(G, −) : _{G}C → \underline{Γ}C le foncteur qui à M ∈ _{G}C associe le système normique (M^{H_{n}}). On note R\underline{Γ}(G, −) : D^{∗}(_{G}C) → D^{∗}(\underline{Γ}C) le dérivé droit de \underline{Γ}(G, −).

(ii) Soit _{G}C^{ℕ^{∘}} la catégorie des systèmes projectifs d’objets de _{G}C indexés sur ℕ. On note R\underline{Γ}(G, −) : D^{∗}(_{G}C^{ℕ^{∘}}) → D^{∗}(\underline{Γ}C) le foncteur composé

GC^{ℕ^{∘}}  ⟶^{R\underline{Γ}(G,−)} \underline{Γ}C^{ℕ^{∘}}  ⟶^{Rlim_{←}_{ℕ}}  \underline{Γ}C

(iii) Si T est une ℤ_{p}-représentation continue de G, on note R\underline{Γ}(G, T) := R\underline{Γ}(G, (T/p^{k})), où (T/p^{k}) désigne le système projectif évident.

Remarque 6.2 (i) Soit A ∈ D^{∗}(_{G}C) et (A) ∈ D^{∗}(_{G}C^{ℕ^{∘}}) le système projectif de valeur constante A. On a alors R\underline{Γ}(G, A) = R\underline{Γ}(G, (A)). Plus généralement, si A ∈ _{G}C^{ℕ^{∘}} est un système projectif qui se stabilise, sa cohomologie au sens (ii) coïncide avec la cohomologie de sa limite, au sens (i).

(ii) Si l’image de G dans Aut_{ℤ_{p}}(T) est finie, on peut donner un sens à R\underline{Γ}(G, T) soit par (i) soit (iii). On convient systématiquent du sens (iii) lorsque G est un groupe de Galois du type G_{F} ou G_{S,F} (cf 6.1.2).

(iii) Soit K^{∗} un foncteur résolvant, au sens de [Ser97], Annexe 2. def 1.4, et notons C_{k}^{•} = K^{∗}(T/p^{k}). Alors la collection des résolutions T/p^{k} → C_{k}^{•} est organisée en système projectif, et donne donc une résolution dans _{G}C^{ℕ^{∘}} (T/p^{k}) → C^{•}, où C^{•} = (C_{k}^{•}) ∈ Kom^{+}(_{G}C)^{ℕ^{∘}} = Kom^{+}(_{G}C^{ℕ^{∘}}). Celle-ci vérifie :

(∗) Les G-modules C_{k}^{q} sont G-cohomologiquement triviaux.

(∗∗) Les systèmes projectifs (\underline{Γ}(C_{k}^{q})) ∈ (\underline{Γ}C)^{ℕ^{∘}} sont flasques. Aussi, R\underline{Γ}(G, T) est représenté par lim_{⟵}_{k}\underline{Γ}(G, C_{k}^{•}) ∈ Kom^{+}(\underline{Γ}C^{ℕ^{∘}}).

(iv) Comme expliqué dans [Jan88], le propriétés (∗) et (∗∗) ci-dessus sont vérifiées par toute résolution injective (T/p^{k}) → I^{•}, I^{•} ∈ Kom^{+}(_{G}C)^{ℕ^{∘}}. On en déduit que Rlim_{⟵}_{k} ∘R\underline{Γ} est aussi le dérivé droit du foncteur composé lim_{⟵}∘\underline{Γ}.

(v) Bien sûr, on retrouve la cohomologie continue de H_{n} en appliquant le foncteur π_{n} de 2.5 : π_{n}R\underline{Γ}(G, T) ≃ RΓ(H_{n}, T).

(vi) En considérant le cône de la multiplication par p^{t} : (T/p^{k}) → (T/p^{k}),

on voit tout de suite qu’il y a isomorphisme naturel R\underline{Γ}(G, T)⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℤ/p^{t} ≃ R\underline{Γ}(G, T/p^{t}) ; mieux, la collection de ces isomorphismes pour t variable se relève en un isomorphisme de D^{+}(\underline{Γ}C^{ℕ}), d’où en passant à la limite inductive :

R\underline{Γ}(G, T)⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p} ≃ R\underline{Γ}(G, T ⊗ ℚ_{p}/ℤ_{p}) dans D^{+}(\underline{Γ}C)

On renvoie à [Jan88] pour les propriétés générales de la cohomologie continue, et la comparaison avec la définition de [Tat76] (par cochaînes continues). On se contente de détailler le résultat suivant, qui reflète essentiellement la suite spectrale de Hochschild-Serre en cohomologie continue pour la collection des extensions de groupes H_{n} ↪ G ↠ G_{n} :

Proposition 6.3 Soit T ∈ Rep_{ℤ_{p}}(G), et notons A := R\underline{Γ}(G, T) ∈ D^{∗}(\underline{Γ}C). Alors C(j_{A}) = 0.

Preuve : On note k l’indice des systèmes projectifs sur ℕ et n ou m celui des systèmes projectifs sur N, sous-jacents aux objets de \underline{Γ}C. Il s’agit de vérifier que la flèche de restriction res_{n} : RΓ(H_{n}, T) → RΓ(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}R\underline{Γ}(G, T)) est un

isomorphisme (NB : avec les notations expliquées plus haut, la cohomologie de lim_{⟶}_{m}R\underline{Γ}(G, T) vaut lim_{⟶}_{m}H^{•}(H_{m}, T)).

Soit C^{•} = (C_{k}^{•}) ∈ Kom^{+}(_{G}C^{ℕ^{∘}}) un complexe qui possède les propriétés (∗) et (∗∗) (cf 6.2). Les objets RΓ(H_{n}, T) et lim_{⟶}_{m}R\underline{Γ}(G, T) sont alors représentés

respectivement par lim_{⟵}_{k}C_{k}^{•}^{H_{n}} et lim_{⟶}_{m}lim_{⟵}_{k}C_{k}^{•}^{H_{m}}, et il nous suffit de montrer que les objets de ce dernier complexe sont Γ_{n}-acycliques. En effet, si c’est le cas la flèche res_{n} est alors représentée (cf 4.3) par la flèche suivante :

lim_{⟵}_{k}C_{k}^{•}^{H_{n}} → (lim_{⟶}_{m}lim_{⟵}_{k}C_{k}^{•}^{H_{m}})^{Γ_{n}}

qui est visiblement un isomorphisme.

Calculons donc, pour p ≥ 1 :

H^{p}(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}lim_{⟵}_{k}C_{k}^{q}^{H_{m}}) ≃ lim_{⟶}_{m}H^{p}(Γ_{n}/Γ_{m}, lim_{⟵}_{k}C_{k}^{q}^{H_{m}})

par (∗∗) ≃ lim_{⟶}_{m}H^{p}(Γ_{n}/Γ_{m}, Rlim_{⟵}_{k}C_{k}^{q}^{H_{m}})

Maintenant,

H^{p}(Γ_{n}/Γ_{m}, Rlim_{⟵}_{k}C_{k}^{q}^{H_{m}}) = Ext_{ℤ_{p}[Γ_{n}/Γ_{m}]}^{p}(ℤ_{p}, Rlim_{⟵}_{k}C_{k}^{q}^{H_{m}})

par 2.10 ≃ R^{p}lim_{⟵}_{k}RHom_{ℤ_{p}[Γ_{n}/Γ_{m}]}(ℤ_{p}, C_{k}^{q}^{H_{m}})

Mais d’après (∗), C_{k}^{q}^{H_{m}} est Γ_{n}/Γ_{m}-acyclique, si bien que

R^{p}lim_{⟵}_{k}RHom_{ℤ_{p}[Γ_{n}/Γ_{m}]}(ℤ_{p}, C_{k}^{q}^{H_{m}}) ≃ R^{p}lim_{⟵}_{k}(C_{k}^{q}^{H_{m}})^{Γ_{n}/Γ_{m}}

≃ R^{p}lim_{⟵}_{k}C_{k}^{q}^{H_{n}}

par (∗∗) ≃ 0

Ainsi, H^{p}(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}lim_{⟵}_{k}C_{k}^{q}^{H_{m}}) ≃ 0 pour p ≥ 1, et cela termine la preuve.

□

6.1.2 Un calcul d’adjoint à la Jannsen

Soit F un corps de nombres, et F_{∞}/F une extension galoisienne de groupe Γ. Soit S un ensemble de places de F (fini ou non) contenant celles qui se ramifient dans F_{∞}/F. On note G_{S} = G_{S,F} le groupe de Galois de la clôture S-ramifiée de F, et G_{S,F_{n}} le sous-groupe qui fixe F_{n}. Nous sommes donc dans la situation du paragraphe précédent avec G = G_{S} ↠ Γ, H_{n} = G_{S,F_{n}}.

Théorème 6.4 Si cd_{p}G_{S} < ∞, alors :

(i) Rlim_{⟵}Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(G_{S,F_{n}}, T)) ≃ RHom_{Λ}(RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}R\underline{Γ}(G_{S,F} , T), ℤ_{p}), Λ)

(ii) Si S est fini, R\underline{Γ}(G_{S,F_{n}}, T) ≃ Bid_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(G_{S,F_{n}}, T)).

Preuve : (i) résulte de 4.10, compte-tenu de 6.3.

(ii) Lorsque S est fini, on a R\underline{Γ}(G_{S}, T) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} (cf [Tat76] cor. prop. 2.1).

□

Corollaire 6.5 Si S est fini et cd_{p}G_{S} < ∞, il y a une suite spectrale à valeurs dans _{Λ}C :

Ext_{Λ}^{p}(Hom_{ℤ_{p}}(H^{q}(G_{S,F_{∞}}, T ⊗ ℚ_{p}/ℤ_{p}), ℚ_{p}/ℤ_{p}), Λ) ⇒ lim_{⟵}H^{p+q}(G_{S,F_{n}}, T)

Preuve : Notons qu’il y a un isomorphisme naturel

RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}R\underline{Γ}(G_{S,F} , T), ℤ_{p})) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}R\underline{Γ}(G_{S,F} , T ⊗ℚ_{p}/ℤ_{p}), ℚ_{p}/ℤ_{p}))

La suite spectrale d’hypercohomologie du foncteur RHom_{Λ}(−, Λ), à coefficients dans Hom_{ℤ_{p}}(H^{q}(G_{S,F_{∞}}, T ⊗ ℚ_{p}/ℤ_{p}), ℚ_{p}/ℤ_{p}) donne donc le résultat, compte-tenu de 6.4.

Remarque 6.6 Cette suite spectrale fait l’objet d’une note non publiée de Jannsen [Jan03]. Elle y est obtenue “à la main” indépendamment de nos hypothèses (selon lesquelles Λ est noethérien, cd_{p}Γ < ∞ et cd_{p}G_{S} < ∞).

6.2 Le groupe des (p)-classes dans les ℤ_{p}^{d}-extensions

On conserve les notations du paragraphe précédent, mais on suppose désormais Γ ≃ ℤ_{p}^{d}, S = S_{p} ∪ S_{∞} et p ≠ 2 si F possède une place réelle (ces conditions assurent cd_{p}G_{S} ≤ 2). Comme première illustration des méthodes de cet article, on se propose d’établir le théorème 6.7 ci-dessous et ses corollaires. On peut voir cette étude comme un analogue partiel de [LFMNQD05] pour les ℤ_{p}^{d}-extensions.

Les résultats qui suivent (6.7, 6.8 et 6.9) ont été obtenus en collaboration avec J. Nekovář. Leur preuve occupe toute la présente section.

La taille des groupes de décomposition de Γ joue un rôle important dans notre étude. Notons S^{dec} = {v ∈ S_{p}(F), Γ_{v} = 0} et considérons l’hypothèse suivante :

(Dec_{a}) Pour tout v ∈ S_{p}(F), rg_{ℤ_{p}}Γ_{v} ≥ a. (ainsi (Dec_{1}) ⇔ S^{dec} = ∅). Soit encore Z := Ker (⊕_{v∈S_{p}(F),Γ_{v}≠0}ℤ_{p}[[Γ/Γ_{v}]] → ℤ_{p}).

Théorème 6.7 Notons Cl′_{n} := Cl(O_{F_{n}}[\frac{1}{p}]) ⊗ ℤ_{p}.

(i) Les Λ-modules lim_{⟵}Cl′_{n} et Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Cl′_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) sont noethériens de torsion. De plus, il existe une morphisme naturel naturel (défini en 4.6) :

α_{k} : Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Cl′_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) → E^{1}(lim_{⟵}Cl′_{n})

et un pseudo-isomorphisme (non canonique) Kerα_{k} ≈ Cokerα_{k}.

(ii) Ker α_{k} ↪ E^{1}(Z). En particulier, α_{k} est un pseudo-isomorphisme injectif si l’hypothèse (Dec_{2}) est vérifiée.

Corollaire 6.8

(i) Char(lim_{⟵}Cl′_{n}) = Char(Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Cl′_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p})). De plus :

lim_{⟵}Cl′_{n} ≈ 0 ⇔ lim_{⟶}Cl′_{n} = 0

(ii) Désignons par (lim_{⟵}Cl′_{n})^{0} le sous-module pseudo-nul maximal de lim_{⟵}Cl′_{n}

et considérons l’application de capitulation j_{n} : Cl′_{n} → (lim_{⟶}_{m}Cl′_{m})^{Γ_{n}}. Sous

(Dec_{2}), il y a une suite exacte canonique :

lim_{⟵}_{n}Ker j_{n} ↪ (lim_{⟵}Cl′_{n})^{0} ↠ lim_{⟵}_{n,k}Coker j_{n}[p^{k}]

Corollaire 6.9 (comp. [Nek06] 9.4.11). Notons E′_{n} := O_{F_{n}}[\frac{1}{p}]^{×} ⊗ℤ_{p}. Alors :

(i) t_{Λ}Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}E′_{n} ⊗ ℚ_{p}/ℤ_{p}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≈ Z, non canoniquement.

(ii) Sous (Dec_{3}), il y a un isomorphisme naturel :

Cokerα_{k} ≃ t_{Λ}Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}E′_{n} ⊗ ℚ_{p}/ℤ_{p}, ℚ_{p}/ℤ_{p})

Principe de la preuve de 6.7 : Considérons les systèmes normiques naturels Cl′ = (Cl′_{n}) ∈ \underline{Γ}C_{tf} et E′ = (E′_{n}) ∈ \underline{Γ}C_{tf}. Prouver 6.7 revient à expliciter la suite exacte longue de cohomologie de α_{k}(Cl′). Pour cela, nous utiliserons les systèmes normiques auxiliaires suivants :

- RΓ_{S} := R\underline{Γ}(G_{S}, ℤ_{p}(1)) ∈ D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} (cf 6.1).

- H_{S}^{q} := H^{q}(R\underline{Γ}_{S}) = (H^{q}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1))) ∈ \underline{Γ}C_{tf}, q = 1, 2.

- Br′ := (Br′_{n}) ∈ \underline{Γ}C_{tf}, où Br′_{n} = lim_{⟵}_{k}H^{2}(G_{S,F_{n}}, ℚ_{p}/ℤ_{p}(1))[p^{k}] le module

de Tate du groupe de Brauer de O_{F_{n}}[\frac{1}{p}].

- \underline{Λ}_{v} = ℤ_{p}[[Γ/Γ_{v}]]\underline{⊗}ℤ_{p} = (ℤ_{p}[[Γ/Γ_{v}]]_{Γ_{n}}) ∈ \underline{Γ}C_{tf}, où Γ_{v} est le groupe de décomposition de Γ en v. Concrètement, k_{m,n} : ℤ_{p}[[Γ/Γ_{v}]]_{Γ_{m}} → ℤ_{p}[[Γ/Γ_{v}]]_{Γ_{n}} (resp. j_{n,m} : ℤ_{p}[[Γ/Γ_{v}]]_{Γ_{n}} → ℤ_{p}[[Γ/Γ_{v}]]_{Γ_{m}}) est la flèche induite par l’identité (resp. la multiplication par ∑_{g∈Γ_{n}/Γ_{m}} g).

- \underline{ℤ}_{p} = ℤ_{p}\underline{⊗}ℤ_{p} = (ℤ_{p}) ∈ \underline{Γ}C_{tf}. Concrètement, k_{m,n} = id et j_{n,m} = [Γ_{n} : Γ_{m}]. Résumons en un lemme les relations qui existent entre ces différents objets :

Lemme 6.10 Il y a dans D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} des triangles distingués :

(i) H_{S}^{1}[−1] → RΓ_{S} → H_{S}^{2}[−2] → H_{S}^{1}.

(ii) Cl′ → H_{S}^{2} → Br′ → Cl′[1]. De plus, H_{S}^{1} ≃ E′.

(iii) Br′ → ⊕_{v|p}\underline{Λ}_{v} → \underline{ℤ}_{p} → Br′[1].

Preuve (esquisse) : La suite exacte de Kummer (resp. le principe de Hasse) donne lieu à un isomorphisme et une suite exacte (resp. une suite exacte) :

E′_{n} ≃ H^{1}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1)) Cl′_{n} ↪ H^{2}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1)) ↠ Br′_{n}
Br′_{n} ↪ ⊕_{v|p}ℤ_{p}[[G_{n}/G_{n,v}]] ↠ ℤ_{p}

compatibles à la restriction et à la corestriction.

□

Pour A ∈ \underline{Γ}C ou D^{b}(\underline{Γ}C), on note A_{∞}(A), X_{∞}(A), A_{∞}^{∗}(A), X_{∞}^{∗}(A) les objets notés simplement A_{∞}, X_{∞}, A_{∞}^{∗}, X_{∞}^{∗} dans le paragraphe 4.1. Commençons par deux lemmes.

Lemme 6.11 (i) C(j_{RΓ_{S}}) = 0, et X_{∞}^{∗}(RΓ_{S}) ∈ D^{b}(C_{Λ})_{tf}.

(ii) C(k_{RΓ_{S}}) = 0, et X_{∞}(RΓ_{S}) ∈ D^{b}(_{Λ}C)_{tf}.

(iii) Δ_{k}(RΓ_{S}) = Δ_{j}(RΓ_{S}) = 0.

Preuve : Tout provient de la proposition 6.3, moyennant 4.4 et 4.7.

□

Lemme 6.12 Soit Br′_{non−dec} := Ker( ⊕_{v∉S^{dec}} \underline{Λ}_{v} → \underline{ℤ}_{p}), de sorte que le module

Z de 6.9 s’identifie naturellement à X_{∞}(Br′_{non−dec}). Alors :

(i) Il y a dans D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} un triangle distingué naturel :

Br′_{non−dec} → Br′ → ⊕_{v∈S^{dec}} \underline{Λ} → Br′_{non−dec}[1]

lequel induit Z = X_{∞}(Br′_{non−dec}) ≃ t_{Λ}X_{∞}(Br′) et f_{Λ}(X_{∞}(Br′)) ≃ ⊕_{v∈S^{dec}}Λ.

(ii) On a X_{∞}^{∗}(Br′_{non−dec}) = 0, Δ_{j}(Br′_{non−dec}) ≃ Δ_{j}(Br′) ≃ Z[1] et Δ_{k}(Br′) ≃ Δ_{k}(Br′_{non−dec}) ≃ RHom_{Λ}(Z, Λ) ≃ τ_{≥1}RHom_{Λ}(X_{∞}(Br′), Λ).

(iii) Sous (Dec_{a}), on a Ext^{q}(X_{∞}(Br′), Λ) = 0 pour q ≤ a − 1. En particulier, X_{∞}(Br′) ≈ 0 ⇔ (Dec_{2}).

Preuve : (i) Comme S^{dec} ⊊ S, la projection naturelle Br′ → ⊕_{v∈S^{dec}} \underline{Λ} est surjective, d’où le triangle distingué de l’énoncé. Le reste suit.

(ii) Ayant remarqué que :

- si v ∉ S^{dec}, alors A_{∞}(\underline{Λ}_{v}) est uniquement p-divisible, et donc X_{∞}^{∗}(\underline{Λ}_{v}) = RHom_{ℤ_{p}}(A_{∞}(\underline{Λ}_{v}), ℤ_{p}) = 0.

- X_{∞}^{∗}(\underline{ℤ}_{p}) = 0. on voit que X_{∞}(Br′_{non−dec}) = 0. Comme par ailleurs Δ_{k}(\underline{Λ}) = Δ_{j}(\underline{Λ}) = 0, le résultats de l’énoncé se déduisent facilement de (i), en appliquant les foncteurs α_{j} et α_{k} aux objets et aux flèches du triangle distingué de (i).

(iii) Comme ℤ_{p}[[Γ/Γ_{v}]] = Λ ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{v}]]} ℤ_{p} ∈ _{Λ}C, on a dans D^{b}(C_{Λ}) :

RHom_{Λ}(ℤ_{p}[[Γ/Γ_{v}]], Λ) ≃ RHom_{ℤ_{p}[[Γ_{v}]]}(ℤ_{p}, Λ) ≃ RHom_{ℤ_{p}[[Γ_{v}]]}(ℤ_{p}, ℤ_{p}[[Γ_{v}]])⊗^{L}_{ℤ_{p}[[Γ_{v}]]}Λ

Maintenant, RHom_{ℤ_{p}[[Γ_{v}]]}(ℤ_{p}, ℤ_{p}[[Γ_{v}]]) ≃ ℤ_{p}[−d_{v}] et RHom_{Λ}(ℤ_{p}, Λ) ≃ ℤ_{p}[−d] où d_{v} (resp. d) désigne le rang de Γ_{v} (resp. Γ) (cf 3.4 (iii)). Aussi 6.10 (iii) donne-t-il un triangle distingué de D^{b}(C_{Λ}) :

ℤ_{p}[−d] → ⊕_{v|p}ℤ_{p}[[Γ/Γ_{v}]][−d_{v}] → RHom_{Λ}(X_{∞}(Br′), Λ) → ℤ_{p}[1 − d]

D’où la première assertion de l’énoncé. L’assertion concernant la pseudonullité résulte de 5.1 (iv).

□

Nous sommes maintenant en mesure d’expliciter le théorème 4.6 appliqué au système normique H_{S}^{2}. Pour plus de lisibilité, et en vue de références futures, on adopte les notations suivantes :

- H_{Iw}^{q}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)) := lim_{⟵}H^{q}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1)) = H^{q}(X_{∞}(RΓ_{S})) ≃ X_{∞}(H_{S}^{q}).

- H^{q}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)) := lim_{⟶}H^{q}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1)) = H^{q}(A_{∞}(RΓ_{S})) ≃ A_{∞}(H_{S}^{q}).

- j_{n}^{q} : H^{q}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1)) → H^{q}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))^{Γ_{n}}, de sorte que H^{0}(j_{H_{S}^{q}}) = (j_{n}^{q}).

- k_{n}^{q} : H_{Iw}^{q}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))_{Γ_{n}} → H^{q}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1)), si bien que H^{0}(k_{H_{S}^{q}}) = (k_{n}^{q}).

Proposition 6.13

1. Les Λ-modules H_{Iw}^{q}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), Ext_{ℤ_{p}}^{p}(H^{q}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p}), p = 0, 1, q = 1, 2, sont tous de type fini.

2. (i) C(j_{H_{S}^{2}}) ≃ C(j_{H_{S}^{1}})[2] (resp. C(k_{H_{S}^{2}}) ≃ C(k_{H_{S}^{1}})[2]) est acyclique hors de [−1, d − 1] (resp. [−d − 1, −2]). Explicitement :

(ii) Ker j_{n}^{1} = Coker j_{n}^{1} = 0, Ker k_{n}^{2} = Coker k_{n}^{2} = 0. (iii) Ker j_{n}^{2} = H^{1}(Γ_{n}, H^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))), Coker j_{n}^{2} = H^{2}(Γ_{n}, H^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))), H_{2}(Γ_{n}, H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))) = Ker k_{n}^{1}, H_{1}(Γ_{n}, H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))) = Coker k_{n}^{1}. (iv) Pour q ≥ 1 on a,

H^{q}(Γ_{n}, H^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))) = H^{q+2}(Γ_{n}, H^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)))

H_{q+2}(Γ_{n}, H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))) = H_{q}(Γ_{n}, H_{Iw}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)))

3. (i) Δ_{k}(H_{S}^{2}) = Δ_{k}(H_{S}^{1})[−2] est acyclique hors de [1, d + 1].

(ii) Les modules de cohomologie de Δ_{k}(H_{S}^{2}) sont noethériens de torsion. De plus :

- H^{q}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) est pseudo-nul si q ≠ 1.

- H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))), ℤ_{p}).

(iii) Hom_{ℤ_{p}}(H^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p}) = E^{0}(H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))). En particulier, H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)) et lim_{⟵}Br′_{n} possède le même Λ-rang. Explicitement, il y a un

isomorphisme naturel Hom_{ℤ_{p}}(H^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p}) ≃ ⊕_{v∈S^{dec}}Λ.

(iv) Il y a une suite exacte naturelle

Ext_{ℤ_{p}}^{1}(H^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p}) ↪ E^{1}(H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))) ↠ H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2}))

(v) Pour q ≥ 2, H^{q}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) = E^{q}(H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))).

4. (i) Δ_{j}(H_{S}^{2}) = Δ_{j}(H_{S}^{1})[2] est acyclique hors de [−1, d − 1].

(ii) Les modules de cohomologie de Δ_{j}(H_{S}^{2}) sont noethériens de torsion. De plus :

- H^{q}(Δ_{j}(H_{S}^{2})) est pseudo-nul si q ≠ −1.

- H^{−1}(Δ_{j}(H_{S}^{2})) ≈ E^{1}(H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2}))). (iii) Il y a des suites exactes naturelles

H^{−1}(Δ_{j}(H_{S}^{2})) ↪ H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)) → E^{0}(X_{∞}^{∗}(H_{S}^{2})) ↠ H^{0}(Δ_{j}(H_{S}^{2}))

E^{1}(Ext_{ℤ_{p}}^{1}(H^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p})) ↪ E^{0}(X_{∞}^{∗}(H_{S}^{2})) ↠ E^{0}(Hom_{ℤ_{p}}(H^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p}))

lim_{⟵}Ker j_{n}^{2} ↪ H^{−1}(Δ_{j}(H_{S}^{2})) ↠ lim_{⟵}_{n,k}Cokerj_{n}^{2}[p^{k}]

lim_{⟵}_{n,k}(Cokerj_{n}^{2})/p^{k} ↪ H^{0}(Δ_{j}(H_{S}^{2})) ↠ lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, H^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)))[p^{k}]

(iv) Pour q ≥ 1, il y a un isomorphisme

E^{q+1}(Ext_{ℤ_{p}}^{1}(H^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p})) ≃ H^{q}(Δ_{j}(H_{S}^{2}))

Preuve : 1. est une conséquence directe de 6.11 (i) et (ii). Le point (i) de 2., 3., 4. résulte de 6.11 (iii), 6.10 (i) et 4.11.

2. (ii) - (iv) découlent immédiatement de 2. (i). Ces résultats sont en fait bien connus, et peuvent aussi se lire sur des suites spectrales convenables (e.g. [Kat06] 2.3 pour la codescente).

3. (ii) D’après 2. (ii), la flèche de descente ℤ_{p}\underline{⊗}X_{∞}(H_{S}^{2}) → H_{S}^{2} est un isomorphisme, et l’on peut donc appliquer 5.3.

4. (ii), on raisonne comme en 5.23 2. (iii).

Le reste de l’énoncé exprime essentiellement la cohomologie des triangles distingués α_{k}(H_{S}^{2}) et α_{j}(H_{S}^{2}), aux exceptions suivantes près :

3. (iii) Comme Cl′_{n} est fini, la suite exacte de Kummer (cf 6.10) montre que Hom_{ℤ_{p}}(Br′, ℤ_{p}) = Hom_{ℤ_{p}}(H_{S}^{2}, ℤ_{p}). La description explicite de l’énoncé résulte donc de 6.12 (i).

4. (iii) Pour obtenir les deux dernières suites exactes, on raisonne comme en 5.23 2. (i).

□

Dans la proposition 6.13, on s’est attaché à expliciter la cohomologie des triangles distingués α_{j}(A) et α_{k}(A) avec A = H_{S}^{2}. Pour avoir une vision complète de la situation, il conviendrait de faire de même avec A = H_{S}^{1}, puis de recoller les deux avec RΓ_{S}. A défaut d’écrire les détails d’une étude aussi fastidieuse, on se contente d’évoquer deux points significatifs.

Corollaire 6.14 (i) H_{Iw}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)) ≃ E^{0}(RHom_{ℤ_{p}}(H^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p})). (ii) Il y a une suite exacte naturelle

H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) ↪ Hom_{ℤ_{p}}(H^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p}) → E^{0}(H_{Iw}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)))

→ H^{2}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) → ℤ_{p}(1)

En particulier, H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) ≃ t_{Λ}Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}E′_{n}, ℤ_{p}).

Preuve : Pour (i) (resp. (ii)), on écrit un morceau de la suite exacte longue de cohomologie de α_{j}(H_{S}^{1}) (resp. α_{k}(H_{S}^{1})), compte-tenu de 6.13 4. (i). La dernière assertion résulte de la suite exacte, puisque t_{Λ}E^{0}(H_{Iw}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))) = 0, et que H_{S}^{1} ≃ E′ (6.10 (ii)).

□

Le résultat suivant est l’ingrédient principal pour la preuve de 6.7.

Proposition 6.15 Il existe des pseudo-isomorphismes non canoniques

Z ≈ H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) ≈ H^{−1}(Δ_{j}(H_{S}^{2}))

En particulier (Dec_{2}) ⇔ H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) ≈ 0 ⇔ H^{−1}(Δ_{j}(H_{S}^{2})) ≈ 0.

Preuve : Pour ne pas exclure le cas où (Dec_{1}) n’est pas vérifiée, introduisons H_{S,dec}^{2}, le noyau de la flèche composée H_{S}^{2} → Br′ → ⊕_{v∈S^{dec}} \underline{Λ}. On a alors deux triangles distingués naturels

H_{S,non−dec}^{2} → H_{S}^{2} → ⊕_{v∈S^{dec}} \underline{Λ} → H_{S,non−dec}^{2}[1]
Cl′ → H_{S,non−dec}^{2} → Br′_{non−dec} → Cl′[1]

sur lesquels on lit les faits suivants :

- C(k_{H_{S,non−dec}^{2}}) ≃ C(k_{H_{S}^{2}}). En particulier, ℤ_{p}\underline{⊗}X_{∞}(H_{S,non−dec}^{2}) ≃ H_{S,non−dec}^{2}.

- Δ_{k}(H_{S}^{2}) ≃ Δ_{k}(H_{S,non−dec}^{2}).

- f_{ℤ_{p}}(X_{∞}(H_{S,non−dec}^{2})_{Γ_{n}}) ≃ f_{ℤ_{p}}((H_{S,non−dec}^{2})_{n}) ≃ (Br′_{non−dec})_{n}. D’après 6.13 3. (iii), le Λ-module M := X_{∞}(H_{S,non−dec}^{2}) est de Λ-torsion. On peut donc lui appliquer 5.3 2. (i) et 5.10, et cela donne une pseudo-surjection non-canonique Z ≃ lim_{⟵}M_{Γ_{n}} → H^{1}(Δ_{k}(H_{S,non−dec}^{2})) ≃ H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2})).

Mais H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) ≃ t_{Λ}Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}E′_{n}, ℤ_{p}) (6.14 (ii)), or d’après [Nek06] 9.4.11 (iii),

Char(Z) | Char(t_{Λ}Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}E′_{n}, ℤ_{p}))

(noter que Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}E′_{n}, ℤ_{p}) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}E′_{n} ⊗ ℚ_{p}/ℤ_{p}, ℚ_{p}/ℤ_{p})). Le noyau

de la pseudo-surjection précédente est donc nécessairement pseudo-nul. D’où le premier pseudo-isomorphisme de l’énoncé. Le reste suit, grâce à 6.13 4. (ii) et 6.12 (iii).

□

Corollaire 6.16 (i) Ext_{ℤ_{p}}^{1}(H^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p}) ne possède aucun sous-module pseudo-nul. (ii) Sous (Dec_{2}), H^{−1}(Δ_{j}(H_{S}^{2})) est le sous-module pseudo-nul maximal

de H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)).

Preuve : (i) Au vu de 6.13 3. (iv), il suffit de montrer que E^{1}(X_{∞}(H_{S}^{2})) ne possède aucun sous-module pseudo-nul. Mais d’après la preuve de 6.15, X_{∞}(H_{S}^{2}) est somme directe d’un Λ-module libre et du Λ-module de torsion X_{∞}(H_{S,non−dec}^{2}). D’où E^{1}(X_{∞}(H_{S}^{2})) ≃ E^{1}(X_{∞}(H_{S,non−dec}^{2})), et le résultat par 5.1 (iii).

(ii) Le Λ-module Ext_{ℤ_{p}}^{1}(H^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p}) étant de torsion (6.13 3. (iv) et 5.1 (i)), les deux premières suites exactes de 6.13 4. (iii), jointes à 5.1 (iii), montrent que le sous-module pseudo-nul maximal de H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)) est contenu dans H^{−1}(Δ_{j}(H_{S}^{2})). D’où le résultat, par 6.15.

□

Preuve de 6.7 : (i) Comme Cl′ = Ker(H_{S}^{2} → Br′), 6.13 1. et 3. (iii) montrent que lim_{⟵}Cl′_{n} est noethérien de torsion. Que le module

Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Cl′_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) = H^{1}(X_{∞}^{∗}(Cl′)) ≃ Ext_{ℤ_{p}}^{1}(H_{S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p})

soit noethérien de torsion résulte de 6.13 1., 3. (iv) et 5.1 (i).

Comme X_{∞}(Cl′) est de Λ-torsion, la suite exacte longue de cohomologie du triangle distingué α_{k}(Cl′) s’écrit

0 → H^{0}(Δ_{k}(Cl′)) → H^{1}(X_{∞}^{∗}(Cl′)) → E^{1}(X_{∞}(Cl′)) → H^{1}(Δ_{k}(Cl′)) → 0

La flèche centrale est celle notée α_{k} dans l’énoncé, et il reste à montrer que les deux termes extrèmes sont pseudo-isomorphes.

Appliquer Δ_{k} à 6.10 (ii) donne un triangle distingué dont la suite exacte longue de cohomologie s’écrit :

H^{0}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) → H^{0}(Δ_{k}(Cl′)) → H^{1}(Δ_{k}(Br′)) (∗ ∗ ∗)

→ H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) → H^{1}(Δ_{k}(Cl′)) → H^{2}(Δ_{k}(Br′))

Dans celle-ci, le premier terme est trivial (6.13 3. (i)), et le dernier est pseudonul (6.12 (ii) et 5.1 (i)). Maintenant, 6.15, 5.1 (iv) et 6.12 (ii) donnent, non-canoniquement :

H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) ≈ t_{Λ}X_{∞}(Br′) ≈ E^{1}(X_{∞}(Br′)) ≃ H^{1}(Δ_{k}(Br′))

Comme t_{Λ}X_{∞}(Br′) est pseudo-semi-simple, la suite exacte précédente montre que H^{0}(Δ_{k}(Cl′)) et H^{1}(Δ_{k}(Cl′)) le sont aussi, et qu’ils possèdent le même idéal caractéristique. D’où H^{0}(Δ_{k}(Cl′)) ≈ H^{1}(Δ_{k}(Cl′)), non canoniquement.

(ii) Puisque X_{∞}(Cl′) est de torsion (cf (i)), c’est que H^{0}(Δ_{k}(Cl′)) = Ker α_{k}. Mais d’après 6.12 (ii)

H^{1}(Δ_{k}(Br′)) ≃ E^{1}(X_{∞}(Br′)) ≃ E^{1}(Z)

et la suite exacte (∗∗∗) ci-dessus donne donc l’injection de l’énoncé : Ker α_{k} ↪ E^{1}(Z). Si l’hypothèse (Dec_{2}) est vérifiée, 6.12 (iii) montre qu’en fait, E^{1}(Z) = 0, et cela termine la preuve.

□

Preuve de 6.8 : (i) résulte directement de 6.7. 6.16 (i).

(ii) En toute généralité, la suite exacte longue de cohomologie du triangle distingué α_{j}(Cl′) s’écrit

0 → H^{−1}(Δ_{j}(Cl′)) → X_{∞}(Cl′) → E^{1}(H^{1}(X_{∞}^{∗}(Cl′))) → H^{0}(Δ_{j}(Cl′)) → 0

Dans celle-ci :

- Le troisième terme ne possède aucun sous-module pseudo-nul non nul (5.1 (iii)).

- La flèche centrale coïncide avec E^{1}(α_{k}) ; sous (Dec_{2}), c’est un pseudoisomorphisme et le premier terme est donc pseudo-nul. Aussi, (lim_{⟵}Cl′_{n})^{0} ≃ H^{−1}(Δ_{j}(Cl′)).

La suite exacte de l’énoncé est semblable à 5.23 2. (i).

□

Preuve de 6.9 : (i) a été établi au cours de la preuve de 6.15.

(ii) Sous (Dec_{3}), on a H^{1}(Δ_{k}(Br′)) = H^{2}(Δ_{k}(Br′)) = 0 (6.12 (iii)). Le raisonnement de 6.7 (i) donne alors

Coker α_{k} ≃ H^{1}(Δ_{k}(Cl′)) ≃ H^{1}(Δ_{k}(H_{S}^{2})) ≃ t_{Λ}Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}E′_{n}⊗ℚ_{p}/ℤ_{p}, ℚ_{p}/ℤ_{p})

□

Remarque 6.17 1. (i) L’équivalence de 6.8 (i), longtemps suspectée, avait déjà été établie dans [NQDV05], conditionnellement à la conjecture de Gross pour chaque F_{n}; la preuve reposait alors de façon cruciale sur les résultats de [LFMNQD05]. Des résultats partiels figurent aussi dans [LNQD00] et [McC01], voir [NQDV05] à ce sujet.

(ii) La divisibilité Char(Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Cl′_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p})) | Char(lim_{⟵}Cl′_{n}) était déjà connue ([Nek06] (prop. 9.4.1. (iii)). La preuve de 6.15 présentée ici repose d’ailleurs sur les résultats de [Nek06] 9.4.

(iii) Sous (Dec_{2}), 6.15 est en fait indépendant de [Nek06] 9.4. Dans le cas général, une réponse positive à la question 5.8 engloberait le résultat de loc. cit.. On peut se demander si une adaptation des méthodes de loc. cit permettrait de répondre à 5.8 ; nous espérons y revenir dans un travail ultérieur.

2. Pour T = ℤ_{p}(0), 6.16 (i) possède un analogue bien connu, relié à la conjecture de Leopoldt faible. Celui-ci est originellement dû à [Gre78], et

[NQD84] en a donné une autre preuve. On pourra aussi consulter [Nek06] 9.3.1 pour un résultat général.

3. La proposition 6.14 (i) montre que f_{Λ}H_{Iw}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)) est réflexif, et (ii) pourrait être le point de départ d’une discussion sur la réflexivité du module f_{Λ}Hom_{ℤ_{p}}(H^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)), ℤ_{p}). Il serait sans doute intéressant de comparer cette approche avec celle de [Gre06].

Toute la présente étude concerne les modules d’Iwasawa attachés à la ℤ_{p}-représentation continue T = ℤ_{p}(1). Pour T = ℤ_{p}(i), l’étude analogue présente quelques différences dont la plus marquante est peut-être la description du sous-module pseudo-nul maximal de H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)) : pour i ≥ 2, celui-ci vaut tout simplement lim_{⟵}Ker j_{n}^{2}. Cette remarque est à rapprocher du fait suivant : les méthodes de [Vau05], [Vau08] permettent de produire des éléments de Ker j_{n} ⊂ H^{2}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(i)) (pour n fixé) seulement pour i ≥ 2, et non pour i = 1.

Question 6.18 Est-il possible d’adapter les méthodes de [Vau05], [Vau08] pour produire des éléments du sous-quotient lim_{⟵}_{n,k}Coker j_{n}^{2}[p^{k}] de H_{Iw}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)) ?

Une réponse positive à cette question demanderait certainement la construction préalable de systèmes projectifs d’unités le long de sous-extensions bien choisies de F_{∞}.

6.3 Descente et codescente dans la tour cyclotomique

On propose ici une étude systématique de la (co-)descente pour les systèmes normiques usuels de la théorie d’Iwasawa cyclotomique. On retrouve ainsi de façon concise et unifiée de nombreux résultats connus ([Kuz72], [Gre94], [LFMNQD05], [Bel02], [KN95], [NQDL06], [Gre73] et [Iwa83]). Pour simplifier, on suppose p ≠ 2.

L’approche axiomatique présente l’avantage de mettre en lumière les hypothèses dont dépendent les résultats. On ne fait ici aucun usage de la conjecture principale. Par ailleurs, l’étude est essentiellement indépendante de la conjecture de Leopoldt (th. de Baker-Brumer, dans notre contexte), à l’exception du corollaire 6.35. Les propriétés “arithmétiques” qu’on utilise systématiquement sont rassemblées dans le lemme 6.22.

Le phénomène de stabilisation joue un rôle important. Il est automatique pour les systèmes normiques qui proviennent de la cohomologie de ℤ_{p}(1) ; Pour les unités cyclotomiques, l’étude repose entièrement sur un résultat préalable de [Bel02] (cf 6.21).

Fixons F un corps de nombres abélien, et considérons sa ℤ_{p}-extension cyclotomique F_{∞}/F. Comme toujours, Γ_{n} = Gal(F_{∞}/F_{n}), Γ/Γ_{n} = G_{n}. Munies de la norme et de l’extension, les collections suivantes constituent les systèmes normiques que l’on souhaite étudier :

- E_{n} := O_{F_{n}}^{×} ⊗ ℤ_{p} le ℤ_{p}-module des unités, E = (E_{n}) ∈ \underline{Γ}C_{tf}.

- Cl_{n} := Cl(O_{F_{n}}) ⊗ ℤ_{p} le p-groupe de classes, Cl = (Cl_{n}) ∈ \underline{Γ}C_{tf}.

- C_{n} ⊂ E_{n} le ℤ_{p}-module engendré par les unités cyclotomiques (cf [Sin80] pour une définition précise), C = (C_{n}) ∈ \underline{Γ}C_{tf}.

- B_{n} := E_{n}/C_{n}, B = (B_{n}) ∈ \underline{Γ}C_{tf}. On utilisera aussi les systèmes normiques auxiliaires suivants :

- E′ = (E′_{n}), Cl′ = (Cl′_{n}), Br′ = (Br′_{n}), RΓ_{S} = R\underline{Γ}(G_{S}, ℤ_{p}(1)), H_{S}^{1} = (H^{1}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1)) ≃ E′, H_{S}^{2} = (H^{2}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1))), \underline{Λ}_{v} = (ℤ_{p}[G_{n}/G_{n,v}]) (voir section 6.2 pour les notations).

- I = (I_{n}) où I_{n} est le ℤ_{p}-module libre sur les p-places de F_{n}, et les application de transitions sont induites par l’extension et la norme des idéaux.

Si A est un système normique, on note

A_{∞} = lim_{⟶}A_{n}, X_{∞} = lim_{⟵}A_{n}, j_{n} : A_{n} → (A_{∞})^{Γ_{n}}, et k_{n} : (X_{∞})_{Γ_{n}} → A_{n}

Si plusieurs systèmes normiques sont en jeu, on écrira parfois A_{∞}(A), X_{∞}(A), j_{n,A} ou encore k_{n,A} pour indiquer auquel on se rapporte.

Proposition 6.19 Si A = E, Cl, C ou B, alors :

1. X_{∞} est un Λ-module de type fini.

2. (i) Les systèmes inductifs H_{1}(Γ_{n}, X_{∞}), Ker k_{n} et Coker k_{n} se stabilisent ; en particulier, leur limite est de type fini sur ℤ_{p}.

(ii) Les systèmes projectifs Ker j_{n} , Coker j_{n}, H^{1}(Γ_{n}, A_{∞}) et H^{2}(Γ_{n}, A_{∞}) se stabilisent ; en particulier leur limite est de torsion sur ℤ_{p}.

3. Les Λ-modules Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p}) et Ext_{ℤ_{p}}^{1}(A_{∞}, ℤ_{p}) = Hom_{ℤ_{p}}(t_{ℤ_{p}}A_{∞}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) sont de type fini.

Preuve : Commençons par un lemme :

Lemme 6.20 A lieu dans \underline{Γ}C une suite exacte “de localisation hors des pplaces” qui se matérialise par une famille de suites exactes :

E_{n} ↪ H^{1}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1)) → I_{n} → Cl_{n} → H^{2}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1)) → ⊕_{v|p}ℤ_{p}[G_{n}/G_{n,v}] ↠ ℤ_{p}

Preuve : La construction directe (par localisation) d’un triangle distingué adéquat ne semblant pas relever des méthodes de cet article, on se contentera d’une construction à la main. D’abord, la théorie de Kummer donne comme en 6.10 (ii) E′_{n} ≃ H^{1}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1)) et Cl′_{n} ↪ H^{2}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1)) → Br′_{n}. La suite exacte de l’énoncé est alors obtenue en recollant cette dernière à la suite exacte de valuation : E_{n} ↪ E′_{n} → ℤ_{p}[S(F_{n})] → Cl_{n}, via la flèche naturelle Cl_{n} → Cl′_{n}. La famille de suites exactes ainsi construite est G_{n}-équivariante, compatible à la norme et à l’extension, et donne donc bien une suite exacte dans \underline{Γ}C.

□

Preuve de 6.19 : 1. Dans la suite exacte obtenue en appliquant lim_{⟵}_{n} à celle du lemme précédent, on connaît déjà la noethérianité du second et du cinquième terme grâce à 6.13 1., et celle des troisième et sixième terme est évidente, compte-tenu de leur description explicite. Le résultat suit.

2. (i) D’après (6.11 (ii)), C(k_{RΓ_{S}}) = 0. Par 5.17 2., on en déduit que C(k_{H_{S}^{q}}) se stabilise pour q = 1, 2. Par ailleurs, les systèmes normiques I et \underline{Λ}_{v} se stabilisent via la corestriction, puisque pour n suffisamment grand, l’extension F_{∞}/F_{n} est totalement ramifiée en chaque p-place. Il s’ensuit que C(k_{I}) et C(k_{\underline{Λ}_{v}}) se stabilisent automatiquement (5.15), puis C(k_{E}) et C(k_{Cl}) aussi, par 5.20, appliqué à la suite exacte 6.20.

Reste la stabilisation de C(k_{C}) et C(k_{B}). Par définition de B, il y a une suite exacte C ↪ E ↠ B, et il nous suffit donc par 5.21 d’établir la stabilisation de Coker k_{n} pour A = C (condition (i), loc. cit.). Or celle-ci est assurée par la Proposition 6.21 ([Bel02], lemme 2.5) Coker k_{n} se stabilise dès que toutes les p-places sont totalement ramifiées dans F_{∞}/F_{n}. En particulier, Coker k_{n} se stabilise.

La preuve de ce résultat repose sur un examen attentif de la définition des unités cyclotomiques.

□

Terminons la preuve de 6.19 : 2. (ii) procède de 5.14 (i), et 3. découle de 1. et 2. (i), compte-tenu de 4.9.

□

Pour aller plus loin, nous devons prendre en compte la spécificité des quatre systèmes normiques qui nous occupent. Rassemblons en un lemme les propriétés qui nous seront utiles :

Lemme 6.22 (i) Pour A = E : t_{ℤ_{p}}A_{n} = μ_{p^{∞}}(F_{n}), Ker j_{n} = 0 et Coker j_{n} = 0. (ii) Pour A = C : t_{ℤ_{p}}A_{n} = μ_{p^{∞}}(F_{n}), Ker j_{n} = 0 et Coker j_{n} est fini. (iii) Pour A = Cl : A_{n} est fini et Coker k_{n} = 0 pour n >> 0. (iv) Pour A = B : B_{n} est fini.

Preuve : (i) est clair.

(ii) La trivialité de Ker j_{n} se déduit de la propriété analogue pour E. Quant à Cokerj_{n}, c’est d’une part un sous-quotient de E_{n} donc un ℤ_{p}-module de type fini, et d’autre part un ℤ_{p}-module de torsion, comme chaque objet de cohomologie de C(j_{A}). Il est donc nécessairement fini.

(iii) Comme k_{n} est un isomorphisme pour A = (H^{2}(G_{S,F_{n}}, ℤ_{p}(1))) et A = (Br′_{n}), appliquer le foncteur homologique H^{•}(C(k_{(−)})) aux deux suites exactes suivantes (découpées dans 6.20) : I → Cl → Cl′ → 0, et 0 → Cl′ → H_{S}^{2} → Br′_{n} → 0 en donne une troisième : Coker k_{n,I} → Coker k_{n,Cl} → Ker k_{n,Br′}, dans laquelle les deux termes extrèmes s’annulent dès que F_{∞}/F_{n} est totalement ramifiée en chaque p-place. On a donc bien Coker k_{n} = 0 pour A = Cl et n >> 0.

(iv) La finitude de B_{n} est bien connue ([Sin80] th. 4. 1 donne même une formule pour l’ordre de B_{n}).

□

Remarque 6.23 (i) (Leopoldt) Pour A = B, Ker k_{n} est fini ∀n. En effet, la finitude de Ker k_{n} (ie. de (lim_{⟵}B_{m})_{Γ_{n}}) résulte de la conjecture de Leopoldt sous sa forme “fonctions L p-adiques”, modulo la généralisation par [Tsu99] aux corps abéliens quelconques du théorème d’Iwasawa reliant unités cyclotomiques et fonctions L p-adiques. On renvoie à [Bel] th. 1.1 pour plus d’explications.

(ii) Considérons la condition suivante :

(S_{p} = S_{p}^{+}) : F_{∞} et F_{∞}^{+} possèdent le même nombre de p-places

Pour A = Cl, cette condition assure la finitude de Ker k_{n} ∀n. En effet, pour la partie −, cela résulte de la conjecture de Gross (cf [Kol91]), et de celle de Leopoldt pour la partie + (cf [Gre76], th. 1).

En fait, (S_{p} = S_{p}^{+}) ⇔ Ker k_{n} est fini ∀n, comme nous le verrons plus loin (6.33) 2.

Reste maintenant à écrire les résultats de la proposition 5.23 pour les quatre systèmes normiques qui nous occupent. On procède en trois étapes :

- 6.25 énoncé des résultats pour A = Cl ou B.

- 6.28 énoncé des résultats pour A = E ou C.

- 6.31 lien entre les deux premières étapes. à chaque étape, on indique une liste de corollaires (connus ou non), dont les notations suivantes simplifieront les énoncés.

Définition 6.24 1. Si M est un Λ-module de type fini, on note :

(i) M^{δ} = ∪M^{Γ_{n}} ≃ lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, M).

(ii) M^{0} = t_{ℤ_{p}}M^{δ} son sous-module fini maximal.

2. (ii) Dualement, si M est un Λ-module topologique discret (⇒ de ℤ_{p}- torsion) tel que Hom_{ℤ_{p}}(M, ℚ_{p}/ℤ_{p}) soit un Λ-module de type fini, on note :

(i) M_{δ} = Hom_{ℤ_{p}}(Hom_{ℤ_{p}}(M, ℚ_{p}/ℤ_{p})^{δ}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≃ lim_{⟵}M_{Γ_{n}} ≃ lim_{⟵}H^{1}(Γ_{n}, M).

(ii) M_{0} = Hom_{ℤ_{p}}(Hom_{ℤ_{p}}(M, ℚ_{p}/ℤ_{p})^{0}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≃ lim_{⟵}_{n,k}M_{Γ_{n}}/p^{k}.

Proposition 6.25 Soit A = Cl ou B, alors :

1. Les Λ-modules X_{∞} et Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) sont noethériens de torsion.

2. Il y a deux flèches adjointes naturelles :

α_{j} : X_{∞} → E^{1}(Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℚ_{p}/ℤ_{p})) α_{k} : Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) → E^{1}(X_{∞}) et celles-ci vérifient :

(i) Non canoniquement, Ker α_{j}, Coker α_{j}, Ker α_{k}, Coker α_{k} sont tous pseudo-isomorphes.

(ii) Noyau et conoyau de α_{j} sont décrits par :

lim_{⟵}Ker j_{n} ↪ Ker α_{j} ↠ lim_{⟵}_{n,k}Coker j_{n}[p^{k}]

Kerα_{j} ≃ lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, X_{∞})

lim_{⟵}_{n,k}Coker j_{n}/p^{k} ↪ Coker α_{j} ↠ lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, A_{∞})[p^{k}]

Coker α_{j} ≃ lim_{⟶}Kerk_{n}

De plus, on a

E^{2}(Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℚ_{p}/ℤ_{p})) ≃ lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, A_{∞})/p^{k} ≃ lim_{⟶}Coker k_{n}

Pour A = Cl, ce dernier module vaut 0.

(iii) Noyau et conoyau de α_{k} sont décrits par :

Kerα_{k} ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟵}H^{1}(Γ_{n}, A_{∞}), ℚ_{p}/ℤ_{p})

Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Coker k_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) ↪ Kerα_{k} ↠ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Ker k_{n}, ℤ_{p})

Pour A = Cl, le premier terme de la suite exacte précédente est trivial. Pour A = Cl ou B, on a de plus

Coker α_{k} ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟵}Coker j_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p})

Hom_{ℤ_{p}}(t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}Ker k_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) ↪ Coker α_{k} ↠ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, X_{∞}), ℤ_{p})

E^{2}(X_{∞}) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟵}Ker j_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, X_{∞}), ℚ_{p}/ℤ_{p})

Preuve : Le corollaire 5.24 donne 1. et 2. (i). Le point 2. (ii) (resp. 2. (iii)) est donné par 5.23 2. (i) et 3. (ii) (resp. 5.23 2. (ii) et 3. (iii)).

□

Remarque 6.26 Dans la proposition précédente,

(i) Si Ker α_{j} est fini, alors le troisième terme de chacune des quatre suites exactes de 6.25 disparaît, puisque le terme central doit être fini (6.25 2. (i)). De plus, les suites exactes en question mettent en évidence l’équivalence entre la finitude des modules suivants : Ker α_{j}, lim_{⟵}Coker j_{n}, lim_{⟵}H^{1}(Γ_{n}, A_{∞}), lim_{⟶}Ker k_{n}, lim_{⟶}H_{1}(Γ_{n}, X_{∞}). Comme les systèmes projectifs et inductifs en jeu se stabilisent, on voit facilement que la finitude de la limite équivaut à celle de tous les arguments ; par exemple, lim_{⟶}Ker k_{n} est fini si et seulement si chacun des Ker k_{n} l’est. On renvoie à 6.23 pour l’interprétation arithmétique de cette condition.

(ii) Pour A = B, la conjecture de Leopoldt assure la finitude de Ker α_{j} (cf. (i) et 6.23 (i)). Dans cette situation l’expert appréciera de voir la finitude des groupes de cohomologie H^{q}(Γ_{n}, lim_{⟶}B_{m}) apparaître sans plus d’efforts. Dans ce contexte, on note que 6.25 2. (iii) donne deux isomorphismes :

Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟵}Coker j_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Ker k_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≃ Coker α_{k}

dont le premier répond au attentes de [LNQD00] Cor. 4. 6, en toute généralité.

(iii) Pour A = Cl, les résultats sont indépendants de toute hypothèse sur F. Par ailleurs, il tiennent verbatim si l’on remplace Cl par Cl′. Dans ce contexte, le rapport entre Coker α_{k}, lim_{⟵}Coker j_{n} et lim_{⟶} Ker k_{n} est à rapprocher de l’interprétation de [LFMNQD05] de ces deux derniers objets en termes du module de Bertrandias-Payan (cf loc. cit).

Corollaire 6.27 Avec les notations de la définition précédente, on a :

1. (i) (lim_{⟵}Cl_{n})^{0} ≃ lim_{⟵}Ker j_{n,Cl}.

(ii) (lim_{⟶}Cl_{n})_{0} ≃ lim_{⟶}Coker k_{n,Cl} = 0.

2. (i) (lim_{⟵}B_{n})^{0} ≃ lim_{⟵}Ker j_{n,B}.

(ii) (lim_{⟶}B_{n})_{0} ≃ lim_{⟶}Coker k_{n,B}.

Preuve : D’après 6.25, 2. (ii), on a Kerα_{j} = (X_{∞})^{δ}. Les points 1. (i) et 2. (i) découlent aussitôt de 6.25 2. (ii). De manière analogue, les points 1. (ii) et 2. (ii) s’obtiennent en dualisant l’isomorphisme Kerα_{k} = Hom_{ℤ_{p}}((A_{∞})_{δ}, ℚ_{p}/ℤ_{p}), à l’aide de 6.25 2. (iii).

□

Proposition 6.28 Soit A = E ou C, X_{∞} = lim_{⟵}A_{n}, A_{∞} = lim_{⟶}A_{n}. Alors :

1. Les Λ-modules X_{∞} et Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p}) sont noethériens.

2. Il y a deux flèches duales naturelles :

α̃_{j} : X_{∞} → E^{0}(Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p})) α_{k} : Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p}) → E^{0}(X_{∞})

et celles-ci vérifient :

(i) Noyau et conoyau de α̃_{j} sont décrits par :

Ker α̃_{j} = lim_{⟵}μ_{p^{∞}}(F_{n}) Coker α̃_{j} ≃ lim_{⟶}Ker k_{n}

lim_{⟵}Coker j_{n} ↪ Coker α̃_{j} ↠ lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, A_{∞})[p^{k}]

Dans la suite exacte précédente, le premier terme est fini si A = C, trivial si A = E.

De plus, E^{1}(Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p})) ≃ lim_{⟶}Coker k_{n} et il y a une suite exacte

lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, A_{∞})/p^{k} ↪ E^{1}(Hom_{ℤ_{p}}(A_{∞}, ℤ_{p})) ↠ lim_{⟵}H^{2}(Γ_{n}, A_{∞})[p^{k}]

(ii) Noyau et conoyau de α_{k} sont décrits par :

Ker α_{k} ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟵}H^{2}(Γ_{n}, A_{∞}), ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Coker k_{n}, ℤ_{p})

Coker α_{k} ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟵}H^{1}(Γ_{n}, A_{∞}), ℚ_{p}/ℤ_{p})

Hom_{ℤ_{p}}(t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}Coker k_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) ↪ Coker α_{k} ↠ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Ker k_{n}, ℤ_{p})

De plus, il y a une suite exacte

lim_{⟵}μ_{p^{∞}}(F_{n}) ↪ E^{1}(X_{∞}) ↠ Hom_{ℤ_{p}}(t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}Ker k_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p})

et Hom_{ℤ_{p}}(t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}Ker k_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟵}Coker j_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}) ; ce dernier

module est trivial si A = E.

Preuve : 1. vient de 5.23 1. et 3. Si μ_{p}(F) = 0, alors 2. (i) (resp. 2. (ii)) est donné par 5.23 2. (i) et 3. (ii) (resp. 5.23 2. (ii) et 3. (iii)). Pour traiter le cas μ_{p}(F) ≠ 0, on introduit le système normique des racines de l’unité : \underline{ℤ}_{p}(1) = (μ_{p^{∞}}(F_{n})). Comme μ_{p^{∞}}(F_{∞}) est Γ-cohomologiquement trivial, on voit que C(j_{\underline{ℤ}_{p}(1)}) et C(k_{\underline{ℤ}_{p}(1)}) sont triviaux, si bien qu’il n’y a aucune difficulté à se ramener à l’étude du système normique A/\underline{ℤ}_{p}(1) ; laquelle est analogue au cas μ_{p}(F) = 0.

□

Si M ↪ Λ^{r}, il est bien connu (et facile à démontrer) que M est libre si et seulement si le conoyau est sans ℤ_{p}-torsion. De plus, la ℤ_{p}-torsion du conoyau en question ne dépend pas du plongement choisi, à unique isomorphisme près ; on définit donc ainsi un invariant structurel de M, appelé suggestivement le défaut de liberté du Λ-module M.

Corollaire 6.29

1. (i) On a t_{Λ}lim_{⟵}E_{n} = ℤ_{p}(1) ou 0 selon que F contient ou non μ_{p};

t_{Λ}Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}E_{n}, ℤ_{p}) ≃ Hom(lim_{⟵}_{n}H^{2}(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}E_{m}), ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Coker k_{n,E}, ℤ_{p})

(ii) f_{Λ}lim_{⟵}E_{n} est libre, et le défaut de liberté de f_{Λ}Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}E_{n}, ℤ_{p}) est

dual à lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}E_{m})/p^{k} ≃ t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}Coker k_{n,E}.

2. (i) On a t_{Λ}lim_{⟵}C_{n} = ℤ_{p}(1) ou 0 selon que F contient ou non μ_{p};

t_{Λ}Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}C_{n}, ℤ_{p}) ≃ Hom(lim_{⟵}_{n}H^{2}(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}C_{m}), ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≃ Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}Coker k_{n,C}, ℤ_{p})

(ii) Le défaut de liberté du module f_{Λ}lim_{⟵}C_{n} est isomorphe à lim_{⟵}Coker j_{n,C}

≃ t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}Ker k_{n,C}, et celui de f_{Λ}Hom_{ℤ_{p}}(lim_{⟶}C_{n}, ℤ_{p}), dual à lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}C_{m})/p^{k}

≃ t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}Coker k_{n,C}.

Preuve : C’est une conséquence immédiate de la proposition qui précéde, compte-tenu du fait que le but de α̃_{j}, comme celui de α_{k}, est un Λ-module libre, puisqu’obtenu en appliquant E^{0} à un Λ-module de type fini.

□

Remarque 6.30 1. (i) apparaît en filigrane dans [Iwa83].

1. (ii) est généralement attribué à [Kuz72]. Voir aussi [Gre94], pour une preuve algébrique de la première partie, dans le contexte de l’étude axiomatique de systèmes normiques particuliers.

2. (iii) La première partie de l’énoncé est dûe à [Bel02]. Le module lim_{⟵} Cokerj_{n,C} a fait l’objet de nombreuses études, cf [BNQD05] pour quelques références.

Proposition 6.31

(i) Il y a un diagramme commutatif naturel, dans lequel la colonne centrale est exacte :

0

↓

lim_{⟶}Ker k_{n,E}  ⟶^{∼} lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}E_{m})[p^{k}]

↓

lim_{⟵}I_{n}

r ↓
lim_{⟵}Ker j_{n,Cl}  ↪  Ker α_{j,Cl}  ↠  lim_{⟵}_{n,k}Coker j_{n,Cl}[p^{k}]
↓  ↓  ↓
lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}E_{m})/p^{k} ↪ lim_{⟶}Coker k_{n,E} ↠ lim_{⟵}_{n,k}H^{2}(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}E_{m})[p^{k}]

↓

lim_{⟵}Br′_{n}

↓

lim_{⟵}_{n,k}Coker j_{n,Cl}/p^{k}  ↪ lim_{⟶}Ker k_{n,Cl} ↠ lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, lim_{⟶}Cl_{m})[p^{k}]

↓

0

Dans ce diagramme, r : lim_{⟵}I_{n} → Ker α_{j,Cl} = (lim_{⟵}Cl_{m})^{δ} est induite par la flèche naturelle I_{n} → Cl_{n}.

(ii) Il y a une suite exacte naturelle

lim_{⟵}Ker j_{n,Cl} ↪ lim_{⟵}_{n}H^{1}(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}E_{m}) → (lim_{⟵}I_{n})⊗ℚ_{p}/ℤ_{p} → lim_{⟵}Coker j_{n,Cl}

→ lim_{⟵}_{n}H^{2}(Γ_{n}, lim_{⟶}_{m}E_{m}) → (lim_{⟵}Br′_{n})⊗ℚ_{p}/ℤ_{p} ↠ lim_{⟵}H^{1}(Γ_{n}, lim_{⟶}Cl_{m})

Preuve : Le moyen le plus rapide serait l’utilisation du triangle distingué sousjacent à la suite exacte de localisation 6.20. Comme il n’est pas disponible directement, on en fabrique un à la main :

Lemme 6.32 On peut trouver Z, Z′ ∈ D^{b}(\underline{Γ}C), et un triangle distingué de D^{b}(\underline{Γ}C)_{tf} : T = (Z → RΓ_{S} → Z′ → Z[1]) vérifiant le propriétés suivantes :

(i) Z et Z′ sont acycliques en degrés ≠ 1, 2, et la suite exacte longue de cohomologie de T s’identifie à 6.20, tronquée à l’avant-dernier terme :

H^{1}(Z) ↪ H^{1}(RΓ_{S}) ⟶ H^{1}(Z′) ⟶ H^{2}(Z) ⟶ H^{2}(RΓ_{S}) ↠ H^{2}(Z′)
≀ ↓  ≀ ↓  ≀ ↓  ≀ ↓  ≀ ↓  ≀ ↓
E  ↪  H_{S}^{1}  ⟶  I  ⟶ Cl  ⟶  H_{S}^{2}  ↠ Br′

(ii) Δ_{j}(Z′) ≃ X_{∞}(Z′)[1].

(iii) Δ_{j}(Z) ≃ Δ_{j}(Z′)[−1].

Preuve : (i) L’existence de Z, Z′ et T vérifiant (i) relève du lemme 5.19. Les propriétés (ii) et (iii) se déduisent de (i). En effet :

(ii) Puisque τ_{≤1}Z′ = I et τ_{≥2}Z′ = Br′ se stabilisent via la corestriction, on voit tout de suite que la cohomologie de A_{∞}(Z′) est uniquement p-divisible. D’où, automatiquement, la trivialité de X_{∞}^{∗}(Z′) ≃ RHom_{ℤ_{p}}(A_{∞}(Z′), ℤ_{p}), si bien que le triangle distingué α_{j}(Z′) se réduit à l’isomorphisme de l’énoncé.

(iii) est obtenu en appliquant Δ_{j} à T, puisque Δ_{j}(RΓ_{S}) = 0 (6.11 (iii)).

□

Retour à la preuve de 6.31 : Tronquer Z et appliquer le foncteur Δ_{j} donne un triangle distingué

Δ_{j}(E[−1]) → Δ_{j}(Z) → Δ_{j}(Cl[−2]) → Δ_{j}(E)

dans lequel le premier (resp. troisième) sommet est a priori (4.11) acyclique hors de [0, 2] (resp. [1, 3]), et le second, hors de [1, 2] (6.32 (ii)). D’où une suite exacte longue de cohomologie

H^{0}(Δ_{j}(E)) ↪ H^{1}(Δ_{j}(Z)) → H^{−1}(Δ_{j}(Cl)) → H^{1}(Δ_{j}(E))

→ H^{2}(Δ_{j}(Z)) ↠ H^{0}(Δ_{j}(Cl))

dont il reste à vérifier qu’elle donne bien la colonne du diagramme de l’énoncé. La description explicite des second et cinquième termes relève de 6.32. Pour les autres, et pour les suites exactes horizontales, on applique 6.25 2. (ii) et 6.28 2. (i), compte-tenu de la description suivante de la cohomologie de Δ_{j}(A), valable aussi bien pour A = E que pour A = Cl (5.22 2. (ii)) :

- H^{−1}(Δ_{j}(A)) ≃ Kerα_{j} et H^{0}(Δ_{j}(A)) ≃ Cokerα_{j} ≃ lim_{⟶}Ker k_{n}.

- H^{1}(Δ_{k}) ≃ lim_{⟶}Coker k_{n}.

Vérifier que la flèche r est bien induite par I_{n} → Cl_{n} ne pose pas de diffculté particulière, si l’on observe l’effet du morphisme fonctoriel Δ_{j}[−1] → X_{∞} (début du triangle α_{j}) sur la flèche composée suivante (cf. 6.32) :

I ≃ (τ_{≤1}Z′)[1] → Z′[1] → Z[2] → (τ_{≥2}Z)[2] ≃ Cl

(ii) La suite exacte de l’énoncé est obtenue en appliquant le foncteur lim_{⟶}C(j_{(−)}) au triangle T de 6.32, compte-tenu de 5.22 2. (iii), et du fait que

C(k_{A}) = (H_{1}(Γ_{n}, X_{∞}))[2] ≃ (X_{∞}^{Γ_{n}})[2], pour A = I ou Br′.

□

Remarque 6.33 Une suite exacte à sept termes, similaire à celle de 6.31 2. apparaît dans la littérature en plusieurs endroits (e.g. [Iwa83] et ref.). Cette suite exacte présente plusieurs intérêts :

1. Comme on sait que les limites en question se stabilisent, on obtient une information sur la structure des groupes H^{q}(Γ_{n}, lim_{⟶}E_{m}), q = 1, 2 pour n >> 0. C’est l’objet de [Iwa83].

2. On voit se produire le pendant algébrique du phénomène des zéros trivaux : comme H^{q}(Γ_{n}, lim_{⟶}E_{m}) est fixé par la conjugaison complexe, on obtient dans la partie imaginaire : (lim_{⟵}I_{n} ⊗ ℚ_{p}/ℤ_{p})^{−} ≃ lim_{⟵}(Coker j_{n,Cl})^{−}. La conjecture de Leopoldt prédisant par ailleurs la finitude de (Coker j_{n,Cl})^{+} (cf 6.23), on voit que rg_{ℤ_{p}}(lim_{⟵}Cl_{m})^{δ} = corg_{ℤ_{p}} lim_{⟵}(Coker j_{n,Cl}) (cf 6.25 1. (ii)) coïncide avec le nombre de p-places qui se décomposent dans F_{∞}/F_{∞}^{+}.

Corollaire 6.34 (i) t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}Coker k_{n,E} ≃ (lim_{⟵}Cl′_{n})^{0}.

Preuve : Cela découle de la description explicite de la flèche r dans 6.31 (i).

□

Corollaire 6.35 (utilise la conjecture de Leopoldt, cf 6.23 (ii))

Il y a un diagramme commutatif à lignes exactes :

lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, C_{∞})[p^{k}] ↪ lim_{⟵}_{n,k}H^{1}(Γ_{n}, E_{∞})[p^{k}] ⟶ lim_{⟵}Cok j_{n,B}
↑  ≀ ↑  ≀ ↓
(lim_{⟵}B_{m})^{0} ↪  lim_{⟶}Ker k_{n,C}  ⟶  lim_{⟶}Ker k_{n,E}  ⟶ lim_{⟶}Ker k_{n,B}

⟶ (lim_{⟵}_{n}H^{1}(Γ_{n}, C_{∞}))_{0} ⟶ (lim_{⟵}_{n}H^{1}(Γ_{n}, E_{∞}))_{0} ⟶ (lim_{⟵}_{n}H^{1}(Γ_{n}, lim_{⟶}B_{m}))_{0}
≀ ↓  ≀ ↓  ≀ ↓
⟶ t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}Coker k_{n,C} ⟶ t_{ℤ_{p}} lim_{⟶}Coker k_{n,E} ⟶  lim_{⟶}Coker k_{n}

⟶  lim_{⟵}H^{2}(Γ_{n}, C_{∞})  ↠  lim_{⟵}H^{2}(Γ_{n}, E_{∞})
≀ ↓  ≀ ↓
⟶ lim_{⟶}Cok k_{n,C} ⊗ ℚ_{p}/ℤ_{p} ↠ lim_{⟶}Cok k_{n,E} ⊗ ℚ_{p}/ℤ_{p}

Le première flèche verticale est surjective, et son noyau vaut lim_{⟵}Coker j_{n,C}.

Preuve : On applique 5.25 2. au triangle distingué tautologique C → E → B → C[1], avec q = 1. L’hypothèse de 2. (i) est satisfaite grâce à Leopoldt : en effet lim_{⟵}H^{1}(C_{j_{B}}) = lim_{⟵}Coker j_{n} se stabilise et (B_{∞})^{Γ_{n}} est fini, par 6.26.

Dans l’énoncé, on a remplacé H^{0}(Δ_{j}(C)) = Coker α_{j} = Coker α̃_{j} par son quotient sans torsion (cf 6.28 2. (i)), c’est pourquoi la première flèche verticale n’est pas injective a priori.

□

Remarque 6.36 Ce résultat recouvre à la fois les th. 3.7 (descente) et 4.5 (codescente) de [NQDL06], et montre que l’hypothèse concernant la nullité de lim_{⟵}Coker j_{n,C} ((DG) dans la terminologie de loc. cit.) ne joue aucun rôle dans cette étude.

7 Appendice : Construction explicite du complexe dualisant

Dans le cas d’un groupe Γ de dimension cohomologique finie pour lequel Λ := ℤ_{p}[[Γ]] est noethérien, on construit le complexe dualisant pour la cohomologie galoisienne de la catégorie _{Γ}C_{tor} des Γ-modules discrets de p-torsion. La construction, basée sur les propriétés des foncteurs d’induction (cf 2.1) d’une part, et le rapport entre cohomologie galoisienne et foncteurs Ext d’autre part, présente les avantages suivants :

- On obtient une formule explicite pour le complexe dualisant, et pas seulement pour sa cohomologie.

- Au lieu d’une collection d’isomorphismes fonctoriels dans D^{b}(Ab), exprimant que les foncteurs Hom_{ℤ_{p}}(H^{q}(Γ_{n}, −), ℚ_{p}/ℤ_{p}) : _{Γ}C_{tor} → Ab sont tous représentables par le même objet de D(Γ) ∈ D^{b}(_{Γ}C), on établit un isomorphisme fonctoriel dans D^{b}(\underline{Γ}C) (ce qui est plus précis), exprimant la “représentabilité” du foncteur Hom_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(−), ℚ_{p}/ℤ_{p}) (cf. 7.3 et 7.4 pour l’énoncé exact). Cette précision est essentielle en vue des passages à la limites.

Comme toujours, on regarde _{Γ}C comme une sous-catégorie pleine de _{Λ}C. Lorsqu’on écrit RHom_{Λ} ou R\underline{Hom}, il s’agit toujours des foncteurs obtenus par dérivation à droite sur _{Λ}C (et non sur _{Γ}C).

Lemme 7.1

(i) Soit B un objet injectif de _{Γ}C. Si B est de ℤ_{p}-torsion, alors le foncteur Hom_{Λ}(−, B) : _{Λ}C_{tf} → _{ℤ_{p}}C est exact.

(ii) Soit B ∈ Kom^{+}(_{Λ}C) un complexe dont les objets vérifient (i), alors les flèches canoniques de D^{+}(_{ℤ_{p}}C) (resp. D^{+}(\underline{Γ}C) ou D^{+}(C\underline{Γ})) :

Hom_{Λ}(A, B) → RHom_{Λ}(A, B) (resp. \underline{Hom}(A, B) → R\underline{Hom}(A, B) )

sont des isomorphismes pour tout A ∈ Kom^{−}(_{Λ}C)_{tf}.

Preuve : (i) La sous-catégorie de_{Γ}C formée des objets de ℤ_{p}-torsion s’identifie à celle des Λ-modules topologiques discrets, et _{Λ}C_{tf} à une sous-catégorie pleine des Λ-modules topologiques compacts. Le résultat provient alors de [Bru66] lemma 2.2.

(ii) découle facilement de (i).

□

On utilise maintenant les foncteurs d’induction (normique et discrète) définis dans les préliminaires (cf. 2.1).

Lemme 7.2 Pour (A, B, C) ∈ _{Γ}C ×_{ℤ_{p}}C ×_{Λ}C, il y a dans \underline{Γ}C un morphisme trifonctoriel

Hom_{ℤ_{p}}(A, B)\underline{⊗}C ⟶ \underline{Hom}(A, Coind_{Γ}(B) ⊗_{Λ} C)

c’est un isomorphisme si C est projectif de type fini.

Preuve : On a une série d’isomorphismes, expliqués ci-dessous :

Hom_{ℤ_{p}}(A, B)\underline{⊗}C ≃^{(1)} \underline{Ind}(Hom_{ℤ_{p}}(A, B)) ⊗_{Λ} C
≃^{(2)} Hom_{ℤ_{p}}(\underline{Coind}(A), B) ⊗_{Λ} C
≃^{(3)} Hom_{ℤ_{p}}(\underline{Ind}(A), B) ⊗_{Λ} C
≃^{(4)} Hom_{Λ}(\underline{Ind}(A), Coind_{Γ}(B)) ⊗_{Λ} C

(1) est simplement l’isomorphisme d’induction, pour \underline{Ind} : C_{Λ} → \underline{Γ}C_{Λ} (noter que Hom_{ℤ_{p}}(A, B) est un Λ-module à droite, via A).

(2) provient de l’isomorphisme d’évaluation suivant, dans \underline{Γ}C_{Λ} :

Hom_{ℤ_{p}}(A, B)\underline{⊗}Λ ≃ Hom_{ℤ_{p}}(\underline{Hom}(Λ, A), B)

(3) résulte de 2.3, qui identifie les foncteurs \underline{Ind} et \underline{Coind} : _{Λ}C → _{Λ}C\underline{Γ}.

(4) Par hypothèse, Γ agit discrètement sur A. Comme Γ_{n} est distingué, on voit tout de suite que l’action à gauche de Γ ⊂ Λ sur Λ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]}A via le facteur Λ est discrète aussi. Munissant B d’une action triviale de Γ, on obtient alors un isomorphisme d’induction discrète :

Hom_{ℤ_{p}}(Λ ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} A, B) ≃ Hom_{Λ}(Λ ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} A, Coind_{Γ}B)

Celui-ci a lieu dans _{G_{n}}C_{Λ}, si l’on fait agir G_{n} à gauche via la conjugaison à droite sur Λ ⊗_{ℤ_{p}[[Γ_{n}]]} A, et Λ à droite via le facteur Λ (resp, Coind_{Γ}B) sur le premier (resp. second) terme (dans le contexte du paragraphe intitulé “induction discrète” dans les préliminaires, cette action de Λ doit être interprétée comme une action de Γ par conjugaison). D’où un isomorphisme dans \underline{Γ}C_{Λ}, en faisant varier n; (4) suit.

Par ailleurs, il y a dans \underline{Γ}C un isomorphisme d’induction, avec cette fois \underline{Ind} : _{Λ}C → _{Λ}C\underline{Γ} :

\underline{Hom}(A, Coind_{Γ}(B) ⊗_{Λ} C) ≃ Hom_{Λ}(\underline{Ind}(A), Coind_{Γ}(B) ⊗_{Λ} C)

La flèche de l’énoncé provient alors finalement de la flèche naturelle de multiplication :

Hom_{Λ}(\underline{Ind}(A), Coind_{Γ}(B)) ⊗_{Λ} C → Hom_{Λ}(\underline{Ind}(A), Coind_{Γ}(B) ⊗_{Λ} C)

C’est visiblement un isomorphisme lorsque A est projectif de type fini.

□

Nous sommes maintenant en mesure d’établir le théorème de dualité.

Théorème 7.3 (Complexe dualisant)

Soit D(Γ) := lim_{⟶}ℚ_{p}/ℤ_{p}\underline{⊗^{L}}ℤ_{p} ∈ D^{b}(_{Γ}C).

Si A ∈ D^{b}(_{Γ}C), il y a dans D^{b}(\underline{Γ}C) un isomorphisme fonctoriel :

RHom_{ℤ_{p}}(A, ℚ_{p}/ℤ_{p})\underline{⊗^{L}}ℤ_{p} →^{∼} R\underline{Hom}(A, D(Γ))

Preuve de 7.3 : Soit P → ℤ_{p} une résolution parfaite de ℤ_{p} dans _{Λ}C. D’après 7.2, on a dans Kom^{b}(\underline{Γ}C) un isomorphisme fonctoriel, pour A ∈ Kom^{−}(_{Γ}C) (avec les conventions de signes adéquates pour la formation des complexes totaux...) :

Hom_{ℤ_{p}}(A, ℚ_{p}/ℤ_{p})\underline{⊗}P →^{∼} \underline{Hom}(A, Coind_{Γ}(ℚ_{p}/ℤ_{p}) ⊗_{Λ} P)

Fixant un quasi-isomorphisme Coind_{Γ}(ℚ_{p}/ℤ_{p}) ⊗_{Λ} P → I où I ∈ Kom^{+}(_{Λ}C) est à objets injectifs, on obtient alors un morphisme composé, fonctoriel dans Kom^{+}(\underline{Γ}C) :

Hom_{ℤ_{p}}(A, ℚ_{p}/ℤ_{p})\underline{⊗}P →^{∼} \underline{Hom}(A, Coind_{Γ}(ℚ_{p}/ℤ_{p}) ⊗_{Λ} P) →^{?} \underline{Hom}(A, I) (1)

Comme Coind_{Γ}(ℚ_{p}/ℤ_{p}) ⊗_{Λ} P = lim_{⟶}\underline{Coind}(ℚ_{p}/ℤ_{p}) ⊗_{Λ} P ≃ lim_{⟶}ℚ_{p}/ℤ_{p}\underline{⊗}P

représente D(Γ), et que I en est une résolution injective dans _{Λ}C, on voit que le but de (1) ci-dessus représente R\underline{Hom}(A, D(Γ)). Reste donc à montrer que la flèche marquée “?” est un quasi-isomorphisme.

Puisque Coind_{Γ}(ℚ_{p}/ℤ_{p}) est un injectif de _{Γ}C, de ℤ_{p}-torsion, c’est que les objets de B := Coind_{Γ}(ℚ_{p}/ℤ_{p}) ⊗_{Λ} P vérifient les conditions de 7.1 (i). Si de plus on suppose A de type fini, 7.1 (ii) affirme que “?” est un quasi-isomorphisme et cela termine la preuve dans ce cas. Le cas général se ramène au cas où A est de type fini, par un argument de passage à la limite. Détaillons. Soit (A_{i}) ∈ Kom^{b}(_{Γ}C_{tf}^{I}) = Kom^{b}(_{Γ}C_{tf})^{I} un système inductif de complexes de type fini tel que A = lim_{⟶}A_{i}, et Cofl^{∗}((A_{i})) → (A_{i}) la résolution

coflasque envisagée dans la preuve de 2.9 4. (Cofl^{∗}((A_{i})) ∈ Kom^{−}(_{Γ}C^{I})). Par fonctorialité la flèche (1) donne un diagramme commutatif de Kom^{+}(\underline{Γ}C^{I^{∘}}) :

Hom_{ℤ_{p}}((A_{i}), ℚ_{p}/ℤ_{p})\underline{⊗}P  ⟶^{1}  \underline{Hom}((A_{i}), I)
2 ↓  3 ↓
Hom_{ℤ_{p}}(Cofl^{∗}((A_{i})), ℚ_{p}/ℤ_{p})\underline{⊗}P ⟶ \underline{Hom}(Cofl^{∗}((A_{i})), I)
4 ↓  5 ↓
F l^{∗}((Hom_{ℤ_{p}}(A_{i}), ℚ_{p}/ℤ_{p})\underline{⊗}P) ⟶^{6} F l^{∗}(\underline{Hom}(A_{i}, I))

Dans celui-ci :

- La flèche 1 est un qis d’après ce qu’on a déjà démontré, puisque les A_{i} sont de type fini.

- Les flèches 2 et 3 sont des qis, puisque les foncteurs Hom_{ℤ_{p}}(−, ℚ_{p}/ℤ_{p})\underline{⊗}P et \underline{Hom}(−, I) sont exacts.

- Les flèches 4 et 5 sont des isomorphismes, puisque les deux foncteurs précédents transforment sommes en produits.

En conséquence, la flèche 6 est elle aussi un qis. Ne reste plus qu’à appliquer le foncteur lim_{⟵}_{I} : on obtient alors un diagramme semblable dans lequel :

- les flèches 2, 3 sont des qis, car les foncteurs lim_{⟵}∘Hom_{ℤ_{p}}(−, ℚ_{p}/ℤ_{p})\underline{⊗}P ≃

Hom_{ℤ_{p}}(−, ℚ_{p}/ℤ_{p})\underline{⊗}P ∘lim_{⟶} et lim_{⟵}∘\underline{Hom}(−, I) ≃ \underline{Hom}(−, I)∘lim_{⟶} sont exacts.

- Les flèches 4 et 5 sont toujours des isomorphismes.

- La flèche 6 est un qis, car les objets des deux complexes inférieurs sont acycliques pour lim_{⟵}. En conséquence, la flèche Hom_{ℤ_{p}}(A, ℚ_{p}/ℤ_{p})\underline{⊗}P → \underline{Hom}(A, I), déduite de 1 par lim_{⟵}_{I}, est elle aussi un qis, et cela termine la preuve dans le cas général.

□

Remarque 7.4 (i) A l’aide du lemme 3.1, on peut réécrire la formule définissant D(Γ) de la manière suivante :

D(Γ) ≃ lim_{⟶}_{n,k}RHom_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(ℤ/p^{k}), ℚ_{p}/ℤ_{p})

On retrouve la formule de [Ser97] A.2 prop. 3.1, 5. c) en prenant la cohomologie.

(ii) Encore à l’aide du lemme 3.1, on voit que D(Γ) est effectivement le complexe dualisant pour la catégorie des Γ-modules de discrets de p-torsion, au sens de [Ser97], annexe de Verdier. Mieux : pour A ∈ _{Γ}C_{tor} il y a un isomorphisme fonctoriel dans D^{b}(\underline{Γ}C) (ou dans D^{b}(C\underline{Γ}), en inversant l’action, ce qu’on n’a pas fait jusqu’ici pour des raisons d’écritures liées au foncteurs d’induction) :

RHom_{ℤ_{p}}(R\underline{Γ}(A), ℚ_{p}/ℤ_{p}) ≃ R\underline{Hom}(A, D(Γ))

(iii) Si A ∈ D^{b}(_{Γ}C), alors 7.3 appliqué à A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p} donne, dans D^{b}(\underline{Γ}C) (ou D^{b}(C\underline{Γ})) :

RHom_{ℤ_{p}}(A, ℤ_{p})\underline{⊗^{L}}ℤ_{p} ≃ RHom_{ℤ_{p}}(A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}, ℚ_{p}/ℤ_{p})\underline{⊗^{L}}ℤ_{p}
≃^{7.3} R\underline{Hom}(A⊗^{L}_{ℤ_{p}}ℚ_{p}/ℤ_{p}, D(Γ))
≃ R\underline{Hom}(A, RHom_{ℤ_{p}}(ℚ_{p}/ℤ_{p}, D(Γ)))

le premier et troisième isomorphismes étant obtenus par adjonction.

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David Vauclair, vauclair@math.unicaen.fr Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme Université de Caen, Campus 2, 14032 Caen Cedex.